Usando as regras de derivação estudadas, derive as seguintes funções:
y=\left(x^{2}-1\right)(2+x)

Passo 1

O enunciado pede para derivar a função
y=\left(x^{2}-1\right)(2+x).
Informações dadas que serão úteis:
  • A função é o produto de dois polinômios: u(x)=x^{2}-1 e v(x)=2+x.
  • Não há restrição explícita de domínio (vale para todo x\in\mathbb{R}).
    A tarefa é encontrar a derivada \dfrac{dy}{dx}.

Passo 2

Estratégias possíveis para derivar:
  • Usar a regra do produto: (uv)'=u'v+uv'.
  • Expandir o produto e derivar termo a termo (usar regra da soma e regra da potência).
Escolho expandir primeiro porque transforma a função num polinômio simples e a derivação fica direta com a regra da potência — é o caminho mais básico e rápido em prova. Depois faço uma verificação com a regra do produto para garantir que deu certo.

Passo 3

Expandir o produto passo a passo (distributiva):
y=(x^{2}-1)(2+x)=x^{2}\cdot(2+x)-1\cdot(2+x).
Calcule cada parte:
x^{2}\cdot(2+x)=2x^{2}+x^{3}, \qquad -1\cdot(2+x)=-2-x.
Somando:
y=x^{3}+2x^{2}-x-2.

Passo 4

Relembrando as regras que vou usar:
  • Regra da potência: \displaystyle\frac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n\,x^{n-1}, onde n é um número real (aqui n será inteiro positivo).
  • Regra da soma (linearidade): \displaystyle\frac{d}{dx}\bigl(f+g\bigr)=f'+g'.
  • Derivada de constante: \displaystyle\frac{d}{dx}\text{(c)}=0.
  • Regra da constante multiplicativa: \displaystyle\frac{d}{dx}\bigl(c\cdot f(x)\bigr)=c\cdot f'(x).

Passo 5

Aplicando termo a termo em y=x^{3}+2x^{2}-x-2:
  • \displaystyle\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}\bigr)=3x^{2} (pela regra da potência).
  • \displaystyle\frac{d}{dx}\bigl(2x^{2}\bigr)=2\cdot\frac{d}{dx}(x^{2})=2\cdot(2x)=4x.
  • \displaystyle\frac{d}{dx}\bigl(-x\bigr)=-1\cdot\frac{d}{dx}(x)=-1.
  • \displaystyle\frac{d}{dx}(-2)=0.
Somando as derivadas dos termos:
\frac{dy}{dx}=3x^{2}+4x-1.

Passo 6

Verificação rápida usando a regra do produto (checagem): seja u=x^{2}-1 e v=x+2.
u'=2x,\qquad v'=1.
Pela regra do produto:
\frac{dy}{dx}=u'v+uv' = 2x(x+2)+(x^{2}-1)\cdot 1.
Calcule:
2x(x+2)=2x^{2}+4x, \qquad (x^{2}-1)=x^{2}-1.
Somando:
2x^{2}+4x+x^{2}-1=3x^{2}+4x-1,
que coincide com o resultado obtido pela expansão. Tudo conferido!

Resposta

\displaystyle\frac{dy}{dx}=3x^{2}+4x-1

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