Encontre \frac{d y}{d x} para as seguintes equações:
e^{x / y}=x-y

Passo 1

O enunciado dá a relação implícita
e^{x/y} = x - y
e pede \tfrac{dy}{dx}. Vamos usar diferenciação implícita, aplicando a regra da cadeia em e^{x/y} e a regra do quociente em x/y.

Passo 2

Diferenciando o lado esquerdo em relação a x, temos
\frac{d}{dx}\bigl(e^{x/y}\bigr) = e^{x/y}\,\frac{d}{dx}\bigl(\tfrac{x}{y}\bigr).
Pela regra do quociente, com u=x e v=y,
\frac{d}{dx}\bigl(\tfrac{x}{y}\bigr) = \frac{y\cdot\frac{d}{dx}(x)-x\cdot\frac{d}{dx}(y)}{y^2} = \frac{y - x\,y'}{y^2}.
Logo
\frac{d}{dx}\bigl(e^{x/y}\bigr) = e^{x/y}\,\frac{y - x\,y'}{y^2}.

Passo 3

Diferenciando o lado direito x - y em relação a x
\frac{d}{dx}(x - y) = 1 - y'.
Portanto a igualdade das derivadas é
e^{x/y}\,\frac{y - x\,y'}{y^2} = 1 - y'.

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por y^2,
e^{x/y}(y - x\,y') = y^2(1 - y') = y^2 - y^2\,y'.
Reescrevendo e agrupando termos com y',
e^{x/y}\,y - e^{x/y}\,x\,y' = y^2 - y^2\,y',
-e^{x/y}x\,y' + y^2\,y' = y^2 - e^{x/y}y,
y'\,\bigl(y^2 - x\,e^{x/y}\bigr) = y^2 - y\,e^{x/y}.
Isolando y',
y' = \frac{y^2 - y\,e^{x/y}}{y^2 - x\,e^{x/y}}.

Resposta

\frac{dy}{dx} = \frac{y^2 - y\,e^{x/y}}{y^2 - x\,e^{x/y}}.

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