Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x+3}{x+2}.

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 2} \frac{x+3}{x+2}.
Informações dadas:
  • A função considerada é a função racional \dfrac{x+3}{x+2}.
  • Queremos o valor do limite quando x se aproxima de 2.

Passo 2

Primeiro vamos checar se a função está bem definida em um entorno de x=2. A função é uma razão entre dois polinômios:
  • Numerador: x+3.
  • Denominador: x+2.
A única possível problema de definição ocorre quando o denominador é zero. Encontramos o ponto proibido resolvendo x+2=0, o que dá x=-2. Como 2\neq -2, a função está definida em x=2 e em um entorno de 2.

Passo 3

Fato importante (teorema usado): polinômios são funções contínuas em todo lugar, e quociente de polinômios é contínuo em pontos onde o denominador não é zero. Para uma função contínua em a vale
\lim_{x\to a} f(x)=f(a).
Como \dfrac{x+3}{x+2} é contínua em x=2 (denominador não nulo), podemos simplesmente avaliar a função em x=2 para obter o limite.

Passo 4

Calculemos a avaliação direta:
\frac{2+3}{2+2}=\frac{5}{4}.
Detalhes aritméticos: 2+3=5 e 2+2=4, logo a fração é \dfrac{5}{4}.

Passo 5

Portanto, pela continuidade da função racional no ponto x=2, o limite é o valor calculado.

Resposta

\dfrac{5}{4}

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