Calcule os seguintes limites:
.
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas:
- A função considerada é a função racional
. - Queremos o valor do limite quando
se aproxima de .
Passo 2
Primeiro vamos checar se a função está bem definida em um entorno de
. A função é uma razão entre dois polinômios:
- Numerador:
. - Denominador:
.
A única possível problema de definição ocorre quando o denominador é zero. Encontramos o ponto proibido resolvendo
, o que dá
. Como
, a função está definida em
e em um entorno de
.
Passo 3
Fato importante (teorema usado): polinômios são funções contínuas em todo lugar, e quociente de polinômios é contínuo em pontos onde o denominador não é zero. Para uma função contínua em
vale
Como
é contínua em
(denominador não nulo), podemos simplesmente avaliar a função em
para obter o limite.
Passo 4
Calculemos a avaliação direta:
Detalhes aritméticos:
e
, logo a fração é
.
Passo 5
Portanto, pela continuidade da função racional no ponto
, o limite é o valor calculado.