Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{1000 x}{x^{2}-1}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite quando x tende a -\infty da função racional abaixo:
\lim_{x\to -\infty} \frac{1000x}{x^{2}-1}.
Informações relevantes: a variável x vai para -\infty; o numerador é 1000x e o denominador é x^{2}-1. Nada mais é dado.

Passo 2

Uma técnica segura e padrão para esse tipo de limite é dividir numerador e denominador pela maior potência de x que aparece na expressão (aqui é x^{2}). Isso deixa explícito o comportamento das parcelas quando |x| fica grande. Dividindo por x^{2} obtemos:
\frac{1000x}{x^{2}-1}=\frac{\dfrac{1000x}{x^{2}}}{\dfrac{x^{2}-1}{x^{2}}}.

Passo 3

Agora simplificamos cada fração dentro:
\frac{1000x}{x^{2}}=\frac{1000}{x}, \qquad \frac{x^{2}-1}{x^{2}}=1-\frac{1}{x^{2}}.
Então a expressão fica
\frac{1000x}{x^{2}-1}=\frac{\dfrac{1000}{x}}{1-\dfrac{1}{x^{2}}}.

Passo 4

Estudamos os limites das parcelas quando x\to -\infty. Sabemos que
\lim_{x\to -\infty}\frac{1000}{x}=0
pois \frac{1000}{x} tem numerador fixo e denominador com módulo crescendo sem fim (como x é negativo, essa fração tende a 0 pela esquerda, isto é, valores pequenos negativos, mas o limite numérico é 0). Também
\lim_{x\to -\infty}\frac{1}{x^{2}}=0,
porque x^{2} cresce para +\infty e assim a fração vai para 0.

Passo 5

Pelo teorema do limite para quocientes (quando o limite do denominador existe e é diferente de zero), podemos passar ao limite da forma
\lim_{x\to -\infty}\frac{\dfrac{1000}{x}}{1-\dfrac{1}{x^{2}}} =\frac{\displaystyle\lim_{x\to -\infty}\frac{1000}{x}}{\displaystyle\lim_{x\to -\infty}\Bigl(1-\frac{1}{x^{2}}\Bigr)} =\frac{0}{1-0}=\;0.
Observação intuitiva: o denominador tende a 1, o numerador tende a 0 (pequenos negativos), então a fração tende a 0.

Passo 6

Uma regra rápida que ajuda em provas: se a função é uma razão de polinômios, o comportamento no infinito é determinado pelos graus. Aqui o grau do numerador é 1 e do denominador é 2; como o grau do numerador é menor, o limite quando x\to\pm\infty é sempre 0. Isso confirma o resultado acima.

Resposta

0

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