Calcule os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite quando
tende a
da função racional abaixo:
Informações relevantes: a variável
vai para
; o numerador é
e o denominador é
. Nada mais é dado.
Passo 2
Uma técnica segura e padrão para esse tipo de limite é dividir numerador e denominador pela maior potência de
que aparece na expressão (aqui é
). Isso deixa explícito o comportamento das parcelas quando
fica grande. Dividindo por
obtemos:
Passo 3
Agora simplificamos cada fração dentro:
Então a expressão fica
Passo 4
Estudamos os limites das parcelas quando
. Sabemos que
pois
tem numerador fixo e denominador com módulo crescendo sem fim (como
é negativo, essa fração tende a
pela esquerda, isto é, valores pequenos negativos, mas o limite numérico é
). Também
porque
cresce para
e assim a fração vai para
.
Passo 5
Pelo teorema do limite para quocientes (quando o limite do denominador existe e é diferente de zero), podemos passar ao limite da forma
Observação intuitiva: o denominador tende a
, o numerador tende a
(pequenos negativos), então a fração tende a
.
Passo 6
Uma regra rápida que ajuda em provas: se a função é uma razão de polinômios, o comportamento no infinito é determinado pelos graus. Aqui o grau do numerador é
e do denominador é
; como o grau do numerador é menor, o limite quando
é sempre
. Isso confirma o resultado acima.