Calcule os seguintes limites.
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{2 x}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to+\infty}\Bigl(1+\frac{1}{x}\Bigr)^{2x}.
Isso envolve o limite exponencial que nos leva à definição de e, pois sabemos que
\lim_{x\to+\infty}\Bigl(1+\tfrac{1}{x}\Bigr)^{x}=e.

Passo 2

Reescrevemos a expressão de forma a usar o limite conhecido:
\Bigl(1+\tfrac{1}{x}\Bigr)^{2x} =\Bigl[\Bigl(1+\tfrac{1}{x}\Bigr)^{x}\Bigr]^{2}.

Passo 3

Aplicamos a propriedade de limite de potência: se \lim_{x\to+\infty}a(x)=L, então \lim_{x\to+\infty}a(x)^{2}=L^{2}. Como
\lim_{x\to+\infty}\Bigl(1+\tfrac{1}{x}\Bigr)^{x}=e,
segue que
\lim_{x\to+\infty}\Bigl[\Bigl(1+\tfrac{1}{x}\Bigr)^{x}\Bigr]^{2} = e^{2}.

Resposta

e^{2}

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