4^{a} Questão: ( \mathbf{2} pontos) Considere os seguintes autovalores e autovetores de uma matriz A.
\lambda_{1}=1, \quad V_{1}=\binom{-1}{2} \quad \text { e } \quad \lambda_{2}=-2, \quad V_{2}=\binom{1}{2}
a) (1.5 ponto) Determine a solução geral de um sistema X^{\prime}=A X que exiba os autovalores e autovetores dados.
b) ( 0.5 ponto) Que tipo de equilíbrio a origem apresenta? Cela

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema
X' = A\,X
cuja matriz A possui dois autovalores reais distintos
\lambda_{1}=1 com autovetor V_{1}=\begin{pmatrix}-1\\\ 2\end{pmatrix}
e
\lambda_{2}=-2 com autovetor V_{2}=\begin{pmatrix}1\\\ 2\end{pmatrix}.
O conteúdo é solução geral de sistemas lineares via autovalores/autovetores e classificação de ponto de equilíbrio.

Passo 2

Pela teoria, se A tem dois autovetores linearmente independentes, a solução geral é combinação linear de
e^{\lambda_{1}t}V_{1} \quad\text{e}\quad e^{\lambda_{2}t}V_{2}.
Logo
X(t) = C_{1}\,e^{1\cdot t}\begin{pmatrix}-1\\\ 2\end{pmatrix} + C_{2}\,e^{-2\cdot t}\begin{pmatrix}1\\\ 2\end{pmatrix},
onde C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 3

Para classificar a origem, observamos os sinais de \lambda_{1}=1>0 e \lambda_{2}=-2<0. Eigenvalores de sinais opostos indicam ponto de sela (saddle), que é instável.

Resposta

(a) \displaystyle X(t)=C_{1}e^{t}\begin{pmatrix}-1\\\ 2\end{pmatrix}+C_{2}e^{-2t}\begin{pmatrix}1\\\ 2\end{pmatrix}.
(b) A origem é um ponto de sela (saddle), instável.

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