Calcule os seguintes limites:
;
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações relevantes dadas:
- A variável
tende para . - A função considerada é o logaritmo natural
, que só está definida para argumentos positivos. - O argumento do logaritmo é a função racional
.
Passo 2
Vamos primeiro analisar o comportamento do argumento
quando
.
Explicação didática: para
muito grande,
fica muito grande (tende a
). Uma constante no numerador dividido por um número que cresce sem limite tende a zero. Logo,
Observe que a convergência é para
pela direita, ou seja, os valores de
são sempre positivos e tendem a
.
Passo 3
Agora pense no comportamento da função
quando
se aproxima de
.
Aulas rápidas:
- A função
é definida para . -
é estritamente crescente. - Quando
se aproxima de , os valores de decrescem sem limite; isto é,
Intuição simples:
transforma números muito pequenos (próximos de zero) em grandes negativos.
Passo 4
Aplicando a observação do passo anterior ao nosso caso: como
quando
, temos imediatamente
(Isto já resolve o limite. Abaixo apresento uma demonstração alternativa algébrica, útil para fazer na prova.)
Passo 5
Demonstração alternativa — manipulação algébrica para ficar bem explícito na prova:
Usando propriedades do logaritmo (explico:
e
), escrevemos
Agora, sabemos que
porque para qualquer
existe
(por exemplo
) tal que
. Assim
Somando a constante finita
não muda o tipo de divergência: