Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow+\infty} \ln \left(\frac{2}{x^{2}}\right);

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to+\infty}\ln\!\left(\frac{2}{x^{2}}\right).
Informações relevantes dadas:
  • A variável x tende para +\infty.
  • A função considerada é o logaritmo natural \ln(\cdot), que só está definida para argumentos positivos.
  • O argumento do logaritmo é a função racional \dfrac{2}{x^{2}}.

Passo 2

Vamos primeiro analisar o comportamento do argumento \dfrac{2}{x^{2}} quando x\to+\infty.
Explicação didática: para x muito grande, x^{2} fica muito grande (tende a +\infty). Uma constante no numerador dividido por um número que cresce sem limite tende a zero. Logo,
\lim_{x\to+\infty}\frac{2}{x^{2}}=0.
Observe que a convergência é para 0 pela direita, ou seja, os valores de \dfrac{2}{x^{2}} são sempre positivos e tendem a 0^{+}.

Passo 3

Agora pense no comportamento da função \ln(y) quando y se aproxima de 0^{+}.
Aulas rápidas:
  • A função \ln(y) é definida para y>0.
  • \ln(y) é estritamente crescente.
  • Quando y se aproxima de 0^{+}, os valores de \ln(y) decrescem sem limite; isto é,
\lim_{y\to 0^{+}}\ln(y)=-\infty.
Intuição simples: \ln transforma números muito pequenos (próximos de zero) em grandes negativos.

Passo 4

Aplicando a observação do passo anterior ao nosso caso: como \dfrac{2}{x^{2}}\to 0^{+} quando x\to+\infty, temos imediatamente
\lim_{x\to+\infty}\ln\!\left(\frac{2}{x^{2}}\right) = \lim_{y\to 0^{+}}\ln(y) = -\infty.
(Isto já resolve o limite. Abaixo apresento uma demonstração alternativa algébrica, útil para fazer na prova.)

Passo 5

Demonstração alternativa — manipulação algébrica para ficar bem explícito na prova:
Usando propriedades do logaritmo (explico: \ln\!\left(\dfrac{a}{b}\right)=\ln a-\ln b e \ln(x^{2})=2\ln x), escrevemos
\ln\!\left(\frac{2}{x^{2}}\right)=\ln 2 - \ln x^{2}=\ln 2 - 2\ln x.
Agora, sabemos que
\lim_{x\to+\infty}\ln x = +\infty,
porque para qualquer N>0 existe x (por exemplo x=e^{N}) tal que \ln x>N. Assim
\lim_{x\to+\infty}\bigl(-2\ln x\bigr) = -\infty.
Somando a constante finita \ln 2 não muda o tipo de divergência:
\ln 2 + (-2\ln x)\longrightarrow \ln 2 + (-\infty) = -\infty.

Resposta

-\infty

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