Uma geladeira custa, à vista, \mathrm{R} \ 1.800,00 e pode ser paga em seis prestações mensais e iguais, vencendo a primeira um mês após a compra. Considere juros deçõêó5 %$ ao mês. Calcule o valor das prestações.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa:
  • Preço à vista: \mathrm{R}\$\,1.800{,}00.
  • Pagamento em 6 prestações mensais iguais, com a primeira vencendo daqui a 1 mês (ou seja, prestações ao final de cada mês).
  • Taxa de juros: 5\% ao mês.
    O que se pede: calcular o valor da prestação mensal (valor fixo R) que, com juros de 5\% ao mês, tem valor presente igual a \mathrm{R}\$\,1.800{,}00.

Passo 2

Escolha do método e introdução das variáveis (sem pular etapas).
  • Denotar por R o valor de cada prestação (mesmo valor para cada mês).
  • Denotar por i a taxa de juros por período (mês). Aqui i=5\%=0{,}05.
  • Denotar por n o número de prestações. Aqui n=6.
  • Denotar por PV o valor presente (preço à vista). Aqui PV=\mathrm{R}\$\,1.800{,}00.
Conceito utilizado (explicado): o valor presente de uma sequência de pagamentos futuros é a soma desses pagamentos atualizados (descontados) pelo fator de juros. Como as prestações são iguais e periódicas, formam uma anuidade (renda fixa). O valor presente de uma anuidade ordinária (pagamentos no fim do período) é a soma da série geométrica dos pagamentos descontados:
PV = R(1+i)^{-1} + R(1+i)^{-2} + \cdots + R(1+i)^{-n}.
Isso é uma soma geométrica com primeiro termo R(1+i)^{-1} e razão comum (1+i)^{-1}. A soma de n termos de uma progressão geométrica com primeiro termo a e razão q é
S_n = a\frac{1-q^{n}}{1-q}.
Aplicando com a=R(1+i)^{-1} e q=(1+i)^{-1} obtemos (fazer as manipulações passo a passo):
PV = R(1+i)^{-1}\cdot\frac{1-(1+i)^{-n}}{1-(1+i)^{-1}}.
Calcular o denominador 1-(1+i)^{-1}:
1-(1+i)^{-1}=\frac{(1+i)-1}{1+i}=\frac{i}{1+i}.
Substituindo esse valor em PV:
PV = R(1+i)^{-1}\cdot\frac{1-(1+i)^{-n}}{\,\dfrac{i}{1+i}\,} = R(1+i)^{-1}\cdot\frac{1+i}{i}\bigl(1-(1+i)^{-n}\bigr).
Simplificando (1+i)^{-1}\cdot(1+i)=1, resulta a fórmula clássica:
PV = R\cdot\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}.
Essa fórmula diz: o valor presente PV de n prestações R com taxa i é R vezes o fator \dfrac{1-(1+i)^{-n}}{i}. Para encontrar R, isolar:
R = PV\cdot\frac{i}{1-(1+i)^{-n}}.

Passo 3

Agora aplicar a fórmula com os números dados:
  • PV=\mathrm{R}\$\,1.800{,}00.
  • i=0{,}05.
  • n=6.
Primeiro calcular (1+i)^{6}=(1{,}05)^{6} passo a passo:
(1{,}05)^{2}=1{,}1025,
(1{,}05)^{3}=1{,}1025\times1{,}05=1{,}157625,
(1{,}05)^{4}=1{,}157625\times1{,}05=1{,}21550625,
(1{,}05)^{5}=1{,}21550625\times1{,}05=1{,}2762815625,
(1{,}05)^{6}=1{,}2762815625\times1{,}05=1{,}340095640625.
Logo
(1+i)^{-n}=(1{,}05)^{-6}=\frac{1}{1{,}340095640625}\approx0{,}746215396.
Calcular o denominador da fórmula:
1-(1+i)^{-n}=1-0{,}746215396=0{,}253784604.
Calcular o fator \dfrac{i}{1-(1+i)^{-n}}:
\frac{i}{1-(1+i)^{-n}}=\frac{0{,}05}{0{,}253784604}\approx0{,}197017924.

Passo 4

Multiplicar por PV para obter R:
R = 1.800\times0{,}197017924\approx354{,}6322632.
Arredondando para centavos (duas casas decimais), a prestação mensal vale \mathrm{R}\$\,354{,}63.

Passo 5

Comentário final e verificação rápida (síntese didática e incentivo): esse valor significa que seis pagamentos de \mathrm{R}\$\,354{,}63 feitos ao final de cada mês, descontados a 5\% ao mês, têm valor presente igual a \mathrm{R}\$\,1.800{,}00. Boa! Você já sabe montar a fórmula, derivá-la como soma geométrica e aplicar passo a passo — isso resolve praticamente qualquer questão de parcelas iguais com juros compostos. Força nos estudos, você consegue!

Resposta

\mathrm{R}\$\,354{,}63

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