Esboce o gráfico da função
, indicando seus pontos críticos, intervalos de crescimento/decrescimento, pontos de inflexão, sentidos das concavidades e limites no infinito.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o gráfico da função e indicar:
- pontos críticos (onde
ou não existe) e classificá‑los (máximo/local mínimo), - intervalos de crescimento e decrescimento,
- ponto(s) de inflexão e sentidos das concavidades,
- limites quando
.
A função dada é
. Não há outras informações no enunciado.
Passo 2
Vou calcular a derivada primeira
para encontrar os pontos críticos e estudar monotonicidade.
Lembrando rapidamente: a derivada
dá a inclinação da reta tangente à curva em cada
; para polinômios usa‑se a regra do poder: se
então
.
Calculemos:
Fatorando o polinômio quadrático (ou usando fórmula quadrática) obtemos:
As raízes (onde
) são os valores de
que anulam cada fator:
Agora calculo os valores de
nesses pontos (para ter as coordenadas completas dos pontos críticos).
Para
:
Para
:
Colocando em denominador
:
Portanto os pontos críticos são
e
.
Passo 3
Agora determino os intervalos de crescimento/decrescimento usando o sinal de
.
Como
, os zeros estão em
e
. Para um produto de fatores lineares com coeficiente principal positivo, o sinal de
é:
- positivo para
(ambos os fatores negativos? verificar: se , e — produto positivo), - negativo para
(um fator positivo e outro negativo → produto negativo), - positivo para
(ambos positivos → produto positivo).
Assim:
-
é crescente em e em . -
é decrescente em .
Classificação dos pontos críticos pelo teste do sinal:
- em
o sinal passa de para → é um máximo local (valor ); - em
o sinal passa de para → é um mínimo local (valor ).
Passo 4
Vou calcular a derivada segunda
para estudar concavidade e ponto de inflexão.
Lembrando: a segunda derivada
indica a concavidade da curva; se
a curva é côncava para cima, se
côncava para baixo. Um ponto de inflexão ocorre onde
(e troca de sinal).
Calculemos:
Resolvo
:
Avalio
neste ponto para ter o par ordenado:
Colocando em denominador
:
Portanto existe um ponto de inflexão em
.
Passo 5
Determino os intervalos de concavidade usando o sinal de
.
- Para
, → → concavidade para baixo (côncava para baixo). - Para
, → → concavidade para cima (côncava para cima).
Em resumo:
- concava para baixo em
, - concava para cima em
.
Note que o ponto de inflexão
está entre os dois pontos críticos
e
, o que é típico numa cúbica: máximo local (côncava para baixo) → inflexão → mínimo local (côncava para cima).
Passo 6
Limites no infinito (comportamento de cauda). Para polinômios domina o termo de maior grau.
Como
, o termo dominante é
com coeficiente positivo. Logo:
(Isto pode ser visto dividindo por
e observando que os outros termos ficam pequenos comparados a
.)
Passo 7
Resumo para esboçar o gráfico (valores úteis para desenhar):
- pontos críticos:
- máximo local em
; - mínimo local em
.
- máximo local em
- ponto de inflexão:
. - monotonicidade:
- crescente em
e em , - decrescente em
.
- crescente em
- concavidade:
- côncava para baixo em
, - côncava para cima em
.
- côncava para baixo em
- limites:
e .
Para o esboço: comece à esquerda indo para baixo (pois
à esquerda), suba de forma côncava para baixo até o máximo em
, desça passando pelo ponto de inflexão em
mudando gradualmente a concavidade para cima, alcance o mínimo em
e depois suba indefinidamente para a direita, ficando cada vez mais inclinada (côncava para cima).
Resposta
Pontos críticos:
(máximo local) e
(mínimo local)
Intervalos de crescimento: e
Intervalo de decrescimento:
Ponto de inflexão:
Concavidade: côncava para baixo em ; côncava para cima em
Limites: e
Intervalos de crescimento:
Intervalo de decrescimento:
Ponto de inflexão:
Concavidade: côncava para baixo em
Limites: