(3,0) Esboce o gráfico da função f(x)=x^{3}+2 x^{2}+x+1, indicando seus pontos críticos, intervalos de crescimento/decrescimento, pontos de inflexão, sentidos das concavidades e limites no infinito.

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico da função e indicar:
  • pontos críticos (onde f'(x)=0 ou não existe) e classificá‑los (máximo/local mínimo),
  • intervalos de crescimento e decrescimento,
  • ponto(s) de inflexão e sentidos das concavidades,
  • limites quando x\to\pm\infty.
A função dada é f(x)=x^{3}+2x^{2}+x+1. Não há outras informações no enunciado.

Passo 2

Vou calcular a derivada primeira f'(x) para encontrar os pontos críticos e estudar monotonicidade.
Lembrando rapidamente: a derivada f'(x) dá a inclinação da reta tangente à curva em cada x; para polinômios usa‑se a regra do poder: se g(x)=x^{n} então g'(x)=n x^{n-1}.
Calculemos:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}+2x^{2}+x+1\bigr)=3x^{2}+4x+1.
Fatorando o polinômio quadrático (ou usando fórmula quadrática) obtemos:
3x^{2}+4x+1=(3x+1)(x+1).
As raízes (onde f'(x)=0) são os valores de x que anulam cada fator:
3x+1=0 \Rightarrow x=-\tfrac{1}{3},\qquad x+1=0 \Rightarrow x=-1.
Agora calculo os valores de f nesses pontos (para ter as coordenadas completas dos pontos críticos).
Para x=-1:
f(-1)=(-1)^{3}+2(-1)^{2}+(-1)+1=-1+2-1+1=1.
Para x=-\tfrac{1}{3}:
f\!\left(-\tfrac{1}{3}\right)=\left(-\tfrac{1}{27}\right)+2\cdot\tfrac{1}{9}-\tfrac{1}{3}+1 =-\tfrac{1}{27}+\tfrac{2}{9}-\tfrac{1}{3}+1.
Colocando em denominador 27:
-\tfrac{1}{27}+\tfrac{6}{27}-\tfrac{9}{27}+\tfrac{27}{27}=\tfrac{23}{27}.
Portanto os pontos críticos são \bigl(-1,1\bigr) e \bigl(-\tfrac{1}{3},\tfrac{23}{27}\bigr).

Passo 3

Agora determino os intervalos de crescimento/decrescimento usando o sinal de f'(x).
Como f'(x)=(3x+1)(x+1), os zeros estão em x=-1 e x=-\tfrac{1}{3}. Para um produto de fatores lineares com coeficiente principal positivo, o sinal de f' é:
  • positivo para x< -1 (ambos os fatores negativos? verificar: se x<-1, 3x+1< -2 e x+1<0 — produto positivo),
  • negativo para -1<x<-\tfrac{1}{3} (um fator positivo e outro negativo → produto negativo),
  • positivo para x> -\tfrac{1}{3} (ambos positivos → produto positivo).
Assim:
  • f é crescente em \bigl(-\infty,-1\bigr) e em \bigl(-\tfrac{1}{3},\infty\bigr).
  • f é decrescente em \bigl(-1,-\tfrac{1}{3}\bigr).
Classificação dos pontos críticos pelo teste do sinal:
  • em x=-1 o sinal passa de + para - x=-1 é um máximo local (valor f(-1)=1);
  • em x=-\tfrac{1}{3} o sinal passa de - para + x=-\tfrac{1}{3} é um mínimo local (valor f(-\tfrac{1}{3})=\tfrac{23}{27}).

Passo 4

Vou calcular a derivada segunda f''(x) para estudar concavidade e ponto de inflexão.
Lembrando: a segunda derivada f''(x) indica a concavidade da curva; se f''(x)>0 a curva é côncava para cima, se f''(x)<0 côncava para baixo. Um ponto de inflexão ocorre onde f''(x)=0 (e troca de sinal).
Calculemos:
f''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(3x^{2}+4x+1\bigr)=6x+4.
Resolvo f''(x)=0:
6x+4=0 \Rightarrow x=-\tfrac{4}{6}=-\tfrac{2}{3}.
Avalio f neste ponto para ter o par ordenado:
f\!\left(-\tfrac{2}{3}\right)=\left(-\tfrac{8}{27}\right)+2\cdot\tfrac{4}{9}-\tfrac{2}{3}+1 =-\tfrac{8}{27}+\tfrac{8}{9}-\tfrac{2}{3}+1.
Colocando em denominador 27:
-\tfrac{8}{27}+\tfrac{24}{27}-\tfrac{18}{27}+\tfrac{27}{27}=\tfrac{25}{27}.
Portanto existe um ponto de inflexão em \bigl(-\tfrac{2}{3},\tfrac{25}{27}\bigr).

Passo 5

Determino os intervalos de concavidade usando o sinal de f''(x)=6x+4.
  • Para x<-\tfrac{2}{3}, 6x+4<0 f''(x)<0 → concavidade para baixo (côncava para baixo).
  • Para x>-\tfrac{2}{3}, 6x+4>0 f''(x)>0 → concavidade para cima (côncava para cima).
Em resumo:
  • concava para baixo em \bigl(-\infty,-\tfrac{2}{3}\bigr),
  • concava para cima em \bigl(-\tfrac{2}{3},\infty\bigr).
Note que o ponto de inflexão x=-\tfrac{2}{3} está entre os dois pontos críticos x=-1 e x=-\tfrac{1}{3}, o que é típico numa cúbica: máximo local (côncava para baixo) → inflexão → mínimo local (côncava para cima).

Passo 6

Limites no infinito (comportamento de cauda). Para polinômios domina o termo de maior grau.
Como f(x)=x^{3}+2x^{2}+x+1, o termo dominante é x^{3} com coeficiente positivo. Logo:
\lim_{x\to\infty}f(x)=\infty,\qquad \lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty.
(Isto pode ser visto dividindo por x^{3} e observando que os outros termos ficam pequenos comparados a x^{3}.)

Passo 7

Resumo para esboçar o gráfico (valores úteis para desenhar):
  • pontos críticos:
    • máximo local em \bigl(-1,1\bigr);
    • mínimo local em \bigl(-\tfrac{1}{3},\tfrac{23}{27}\bigr)\approx\bigl(-0{,}333,\;0{,}8519\bigr).
  • ponto de inflexão: \bigl(-\tfrac{2}{3},\tfrac{25}{27}\bigr)\approx\bigl(-0{,}666,\;0{,}9259\bigr).
  • monotonicidade:
    • crescente em \bigl(-\infty,-1\bigr) e em \bigl(-\tfrac{1}{3},\infty\bigr),
    • decrescente em \bigl(-1,-\tfrac{1}{3}\bigr).
  • concavidade:
    • côncava para baixo em \bigl(-\infty,-\tfrac{2}{3}\bigr),
    • côncava para cima em \bigl(-\tfrac{2}{3},\infty\bigr).
  • limites: \lim_{x\to\infty}f(x)=\infty e \lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty.
Para o esboço: comece à esquerda indo para baixo (pois f\to-\infty à esquerda), suba de forma côncava para baixo até o máximo em (-1,1), desça passando pelo ponto de inflexão em (-2/3,25/27) mudando gradualmente a concavidade para cima, alcance o mínimo em (-1/3,23/27) e depois suba indefinidamente para a direita, ficando cada vez mais inclinada (côncava para cima).

Resposta

Pontos críticos: (-1,1) (máximo local) e \bigl(-\tfrac{1}{3},\tfrac{23}{27}\bigr) (mínimo local)
Intervalos de crescimento: \bigl(-\infty,-1\bigr) e \bigl(-\tfrac{1}{3},\infty\bigr)
Intervalo de decrescimento: \bigl(-1,-\tfrac{1}{3}\bigr)
Ponto de inflexão: \bigl(-\tfrac{2}{3},\tfrac{25}{27}\bigr)
Concavidade: côncava para baixo em \bigl(-\infty,-\tfrac{2}{3}\bigr); côncava para cima em \bigl(-\tfrac{2}{3},\infty\bigr)
Limites: \lim_{x\to\infty}f(x)=\infty e \lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty

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