Determine:
\lim _{x \rightarrow 2^{-}} \frac{\lfloor x\rfloor+1}{x-2}

Passo 1

O enunciado pede o seguinte limite unidirecional:
\lim_{x\to 2^-} \frac{\lfloor x\rfloor+1}{x-2}.
Informações relevantes fornecidas ou implícitas:
  • A função envolvida tem o piso (função parte inteira) \lfloor x\rfloor, que por definição é o maior inteiro menor ou igual a x.
  • O limite é tomado à esquerda de 2, ou seja, por valores de x menores que 2 e cada vez mais próximos de 2.
  • Queremos entender o comportamento da fração quando x se aproxima de 2 por valores menores que 2.

Passo 2

Entender como se comporta \lfloor x\rfloor perto de x=2. Para qualquer x tal que 1 \le x < 2 vale, pela definição da parte inteira,
\lfloor x\rfloor = 1,
porque 1 é o maior inteiro que não ultrapassa x (já que x<2). Como estamos aproximando 2 pela esquerda, podemos restringir nossa atenção a valores de x nessa faixa (1,2) suficientemente próximos de 2.

Passo 3

Usando a observação do passo anterior, para x suficientemente perto de 2 e com x<2 temos
\lfloor x\rfloor + 1 = 1 + 1 = 2.
Portanto, na vizinhança esquerda de 2 a expressão dada se reduz à expressão racional mais simples
\frac{\lfloor x\rfloor+1}{x-2} = \frac{2}{x-2}.

Passo 4

Analisar o comportamento de \dfrac{2}{x-2} quando x\to 2^-. Para x<2 temos x-2<0. Escrevendo de forma conveniente:
\frac{2}{x-2} = -\frac{2}{2-x}.
Quando x\to 2^- a quantidade 2-x tende para 0 por valores positivos (ou seja, 2-x\to 0^+). Assim o número \dfrac{2}{2-x} cresce sem limite (fica arbitrariamente grande e positivo). Pela presença do sinal negativo na frente, a quantidade -\dfrac{2}{2-x} fica arbitrariamente grande em módulo e negativa.

Passo 5

Uma ilustração com uma sequência convergente à esquerda: tome x_n = 2-\dfrac{1}{n} com n=1,2,3,\dots. Então x_n\to 2^- e, para cada n,
\frac{\lfloor x_n\rfloor+1}{x_n-2} = \frac{2}{(2-\tfrac{1}{n})-2} = \frac{2}{-\tfrac{1}{n}} = -2n.
Os valores -2n tendem para valores negativos com módulo crescendo sem limite quando n\to\infty. Isso confirma que a expressão não se aproxima de um número finito, mas fica cada vez mais negativa.

Passo 6

Conclusão lógica do comportamento: para x aproximando 2 pela esquerda a fração assume valores negativos cujo módulo cresce sem limite, isto é, o limite não é um número real finito, mas diverge para menos infinito.

Resposta

-\infty

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