Determine:
Passo 1
O enunciado pede o seguinte limite unidirecional:
Informações relevantes fornecidas ou implícitas:
- A função envolvida tem o piso (função parte inteira)
, que por definição é o maior inteiro menor ou igual a . - O limite é tomado à esquerda de
, ou seja, por valores de menores que e cada vez mais próximos de . - Queremos entender o comportamento da fração quando
se aproxima de por valores menores que .
Passo 2
Entender como se comporta
perto de
. Para qualquer
tal que
vale, pela definição da parte inteira,
porque
é o maior inteiro que não ultrapassa
(já que
). Como estamos aproximando
pela esquerda, podemos restringir nossa atenção a valores de
nessa faixa
suficientemente próximos de
.
Passo 3
Usando a observação do passo anterior, para
suficientemente perto de
e com
temos
Portanto, na vizinhança esquerda de
a expressão dada se reduz à expressão racional mais simples
Passo 4
Analisar o comportamento de
quando
. Para
temos
. Escrevendo de forma conveniente:
Quando
a quantidade
tende para
por valores positivos (ou seja,
). Assim o número
cresce sem limite (fica arbitrariamente grande e positivo). Pela presença do sinal negativo na frente, a quantidade
fica arbitrariamente grande em módulo e negativa.
Passo 5
Uma ilustração com uma sequência convergente à esquerda: tome
com
. Então
e, para cada
,
Os valores
tendem para valores negativos com módulo crescendo sem limite quando
. Isso confirma que a expressão não se aproxima de um número finito, mas fica cada vez mais negativa.
Passo 6
Conclusão lógica do comportamento: para
aproximando
pela esquerda a fração assume valores negativos cujo módulo cresce sem limite, isto é, o limite não é um número real finito, mas diverge para menos infinito.