Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(1+e^{-x}\right)^{e^{x}}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to+\infty}\bigl(1+e^{-x}\bigr)^{e^x}.
Isso é um limite do tipo “ 1+\text{pequeno}” elevado a “grande”. Uma forma padrão de tratar esses casos é usar a transformação logarítmica para trazer o expoente para a frente.

Passo 2

Defina
\;L = \lim_{x\to+\infty}\bigl(1+e^{-x}\bigr)^{e^x}.
Então, tomando o logaritmo natural, temos
\ln L = \lim_{x\to+\infty} e^x \,\ln\bigl(1+e^{-x}\bigr).

Passo 3

Para x\to+\infty, temos e^{-x}\to0. Use a expansão em série de Taylor para \ln(1+u) com u=e^{-x}:
\ln\bigl(1+e^{-x}\bigr) = e^{-x} - \tfrac12\,e^{-2x} + o(e^{-2x}).
Multiplicando por e^x,
e^x\ln\bigl(1+e^{-x}\bigr) = 1 - \tfrac12\,e^{-x} + o(e^{-x}) \;\longrightarrow\;1.
Logo \ln L = 1.

Passo 4

Como \ln L = 1, segue
L = e^1 = e.

Resposta

\displaystyle e

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