Nas questões de 7 a 10, justifique sua resposta através das propriedades para funções contínuas vistas em aula.
A função
f(x)=\left\{\begin{array}{cc} \frac{e^{x}-e^{-x}}{\operatorname{sen}(2 x)}, & \text { se } x<0 \\\\ 1, & \text { se } x \geq 0 \end{array}\right.
é contínua no intervalo de \left(-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right) ?

Passo 1

O enunciado define
f(x)= \begin{cases} \displaystyle \frac{e^{x}-e^{-x}}{\operatorname{sen}(2x)},&x<0,\\[1em] 1,&x\ge0, \end{cases}
e pergunta se f é contínua em \bigl(-\tfrac\pi4,\tfrac\pi4\bigr). O único ponto que pode dar problema é x=0. Para resolver, usamos:
– em cada ramo, composição e quociente de funções elementares contínuas (desde que o denominador não zere) é contínua;
– uma função constante é contínua;
– para verificar continuidade em um ponto de fronteira entre ramos, igualamos limite à esquerda e à direita a f(0).]

Passo 2

Para x<0, o numerador e^x-e^{-x} é diferença de exponenciais contínuas e o denominador \operatorname{sen}(2x) é contínuo e não se anula em \bigl(-\tfrac\pi4,0\bigr) (pois 2x\in(-\tfrac\pi2,0) e \operatorname{sen}(2x)\neq0). Logo
\frac{e^{x}-e^{-x}}{\operatorname{sen}(2x)}
é contínua em \bigl(-\tfrac\pi4,0\bigr).

Passo 3

Para x>0, f(x)=1 é constante, portanto contínua em \bigl(0,\tfrac\pi4\bigr).

Passo 4

Falta analisar x=0. Precisamos verificar
\lim_{x\to0^-}f(x),\quad \lim_{x\to0^+}f(x)
e compará-los a f(0)=1.

Passo 5

Calculamos o limite pela esquerda usando regra de L’Hospital, já que tanto o numerador quanto o denominador tendem a zero:
\lim_{x\to0^-}\frac{e^x-e^{-x}}{\operatorname{sen}(2x)} =\lim_{x\to0^-}\frac{\frac{d}{dx}(e^x-e^{-x})}{\frac{d}{dx}[\operatorname{sen}(2x)]} =\lim_{x\to0^-}\frac{e^x+e^{-x}}{2\cos(2x)} =\frac{1+1}{2\cdot1} =1.

Passo 6

Pela direita, como f(x)=1 para x\ge0, temos
\lim_{x\to0^+}f(x)=1.
Assim, ambos os limites laterais valem 1=f(0), garantindo continuidade em x=0.

Passo 7

Concluímos que f é contínua em \bigl(-\tfrac\pi4,\tfrac\pi4\bigr), pois
– é contínua nos ramos x<0 e x>0,
– e em x=0 os limites laterais coincidem com f(0).

Resposta

Sim, f é contínua em \bigl(-\tfrac\pi4,\tfrac\pi4\bigr).

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