e pergunta se f é contínua em \bigl(-\tfrac\pi4,\tfrac\pi4\bigr). O único ponto que pode dar problema é x=0. Para resolver, usamos:
– em cada ramo, composição e quociente de funções elementares contínuas (desde que o denominador não zere) é contínua;
– uma função constante é contínua;
– para verificar continuidade em um ponto de fronteira entre ramos, igualamos limite à esquerda e à direita a f(0).]
Passo 2
Para x<0, o numerador e^x-e^{-x} é diferença de exponenciais contínuas e o denominador \operatorname{sen}(2x) é contínuo e não se anula em \bigl(-\tfrac\pi4,0\bigr) (pois 2x\in(-\tfrac\pi2,0) e \operatorname{sen}(2x)\neq0). Logo
\frac{e^{x}-e^{-x}}{\operatorname{sen}(2x)}
é contínua em \bigl(-\tfrac\pi4,0\bigr).
Passo 3
Para x>0, f(x)=1 é constante, portanto contínua em \bigl(0,\tfrac\pi4\bigr).
Passo 4
Falta analisar x=0. Precisamos verificar
\lim_{x\to0^-}f(x),\quad \lim_{x\to0^+}f(x)
e compará-los a f(0)=1.
Passo 5
Calculamos o limite pela esquerda usando regra de L’Hospital, já que tanto o numerador quanto o denominador tendem a zero:
Assim, ambos os limites laterais valem 1=f(0), garantindo continuidade em x=0.
Passo 7
Concluímos que f é contínua em \bigl(-\tfrac\pi4,\tfrac\pi4\bigr), pois
– é contínua nos ramos x<0 e x>0,
– e em x=0 os limites laterais coincidem com f(0).
Resposta
Sim, f é contínua em \bigl(-\tfrac\pi4,\tfrac\pi4\bigr).