Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(1+x^{-2}\right)^{x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to+\infty}\bigl(1+x^{-2}\bigr)^{x^{2}}.
Esse é um caso clássico de forma indeterminada \,1^{\infty}, e vamos usar as propriedades do logaritmo e a definição do número e para resolver.

Passo 2

Definimos
f(x)=\bigl(1+x^{-2}\bigr)^{x^{2}}
e estudamos o logaritmo de f(x):
\ln f(x)=x^{2}\,\ln\bigl(1+x^{-2}\bigr).
Isso converte a forma 1^{\infty} numa forma 0\cdot\infty, que é mais fácil de tratar.

Passo 3

Para x\to+\infty, temos x^{-2}\to0, portanto podemos usar a expansão em série de Taylor de \ln(1+u) em torno de u=0:
\ln(1+u)=u-\tfrac{u^{2}}{2}+o(u^{2}).
Tomando u=x^{-2}, obtemos
\ln\bigl(1+x^{-2}\bigr)=x^{-2}-\tfrac{1}{2}x^{-4}+o(x^{-4}).
Multiplicando por x^{2}, dá
\ln f(x) = x^{2}\Bigl(x^{-2}-\tfrac12x^{-4}+o(x^{-4})\Bigr) =1-\tfrac1{2x^{2}}+o\bigl(x^{-2}\bigr).
Logo
\lim_{x\to+\infty}\ln f(x)=1.

Passo 4

Como \ln f(x)\to1, temos f(x)\to e^{1}=e.

Resposta

\lim_{x\to+\infty}\bigl(1+x^{-2}\bigr)^{x^{2}}=e.

Exercícios relacionados