e pede para verificar continuidade em \bigl(-\tfrac{\pi}{4},\tfrac{\pi}{4}\bigr). O conteúdo usado será: continuidade de funções compostas e de quocientes (quando o denominador não zera) e definição de continuidade num ponto via limites laterais.
Passo 2
Para x<0, temos e^{x}-1 contínua em \bigl(-\tfrac{\pi}{4},0\bigr) e \tan x também contínua e não nula nesse intervalo (pois \cos x\neq0 em \bigl(-\tfrac{\pi}{4},0\bigr)). Logo o quociente
\frac{e^{x}-1}{\tan x}
é contínuo em \bigl(-\tfrac{\pi}{4},0\bigr).
Passo 3
Para x>0, f(x)=0 é função constante e portanto contínua em \bigl(0,\tfrac{\pi}{4}\bigr).
Passo 4
No ponto x=0, para ser contínua precisamos
\lim_{x\to0^-}f(x)=f(0)=\lim_{x\to0^+}f(x).
Sabemos f(0)=0. E
\lim_{x\to0^+}f(x)=\lim_{x\to0^+}0=0.
Passo 5
Calculamos o limite pela esquerda, que é forma \tfrac{0}{0}:
\lim_{x\to0^-}\frac{e^{x}-1}{\tan x}.
Pelo Teorema de L’Hôpital, derivamos numerador e denominador: