Nas questões de 7 a 10, justifique sua resposta através das propriedades para funções contínuas vistas em aula.
A função
f(x)=\left\{\begin{array}{cc} \frac{e^{x}-1}{\operatorname{tg} x}, & \text { se } x<0 \\\\ 0, & \text { se } x \geq 0 \end{array}\right.
é contínua no intervalo \left(-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right) ?

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)=\begin{cases} \frac{e^{x}-1}{\tan x},&x<0,\\\\ 0,&x\ge0, \end{cases}
e pede para verificar continuidade em \bigl(-\tfrac{\pi}{4},\tfrac{\pi}{4}\bigr). O conteúdo usado será: continuidade de funções compostas e de quocientes (quando o denominador não zera) e definição de continuidade num ponto via limites laterais.

Passo 2

Para x<0, temos e^{x}-1 contínua em \bigl(-\tfrac{\pi}{4},0\bigr) e \tan x também contínua e não nula nesse intervalo (pois \cos x\neq0 em \bigl(-\tfrac{\pi}{4},0\bigr)). Logo o quociente
\frac{e^{x}-1}{\tan x}
é contínuo em \bigl(-\tfrac{\pi}{4},0\bigr).

Passo 3

Para x>0, f(x)=0 é função constante e portanto contínua em \bigl(0,\tfrac{\pi}{4}\bigr).

Passo 4

No ponto x=0, para ser contínua precisamos
\lim_{x\to0^-}f(x)=f(0)=\lim_{x\to0^+}f(x).
Sabemos f(0)=0. E
\lim_{x\to0^+}f(x)=\lim_{x\to0^+}0=0.

Passo 5

Calculamos o limite pela esquerda, que é forma \tfrac{0}{0}:
\lim_{x\to0^-}\frac{e^{x}-1}{\tan x}.
Pelo Teorema de L’Hôpital, derivamos numerador e denominador:
\lim_{x\to0^-}\frac{e^{x}-1}{\tan x} =\lim_{x\to0^-}\frac{e^{x}}{\operatorname{sec}^{2}x} =\frac{e^{0}}{\operatorname{sec}^{2}0} =1.

Passo 6

Como
\lim_{x\to0^-}f(x)=1\neq0=\lim_{x\to0^+}f(x),
não há igualdade dos limites laterais nem coincidência com f(0). Logo f é descontínua em x=0.

Resposta

A função não é contínua em \bigl(-\tfrac{\pi}{4},\tfrac{\pi}{4}\bigr), pois apresenta descontinuidade em x=0.

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