3^{a} Questão: (2 pontos) Considere a equação diferencial de segunda ordem
(1)
x^{\prime \prime}+2 x^{\prime}+a x=0
\operatorname{com} a \in \mathbb{R}.
a) ( 1 pontos) Obtenha o sistema planar X^{\prime}=A X a partir de (1).
b) (1 ponto) Para quais valores de a a origem do sistema encontrado no item a) tem uma espiral?

Passo 1

O enunciado pede dois itens para a equação de segunda ordem
x'' + 2x' + a\,x = 0,
com a\in\mathbb{R}. Primeiro transformar essa equação num sistema planar da forma X'=A\,X. Depois, determinar para quais valores de a o ponto de equilíbrio na origem é um ponto em espiral. Vamos usar teoria de sistemas lineares, definindo variáveis de estado e analisando os autovalores da matriz.

Passo 2

Definimos as variáveis de estado
x_{1} = x,\quad x_{2} = x'.
Então
x_{1}' = x' = x_{2},\qquad x_{2}' = x'' = -2x' - a\,x = -2x_{2} - a\,x_{1}.

Passo 3

Escrevendo em forma matricial X' = A\,X, com X=(x_{1},x_{2})^{T}, obtemos
X' = \begin{pmatrix} 0 & 1\\\\ -\,a & -2 \end{pmatrix}X,
ou seja
A = \begin{pmatrix} 0 & 1\\\\ -\,a & -2 \end{pmatrix}.

Passo 4

Para analisar o tipo de ponto crítico na origem, calculamos os autovalores de A pela equação característica
\det(\lambda I - A) = \det\bigl(\begin{smallmatrix}\lambda & -1\\\ a & \lambda+2\end{smallmatrix}\bigr) = \lambda(\lambda+2) + a = \lambda^{2} + 2\lambda + a = 0.

Passo 5

Os autovalores são
\lambda = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4a}}{2} = -1 \pm \sqrt{1 - a}.
Para que eles sejam complexos (espiral), precisamos de discriminante negativo:
1 - a < 0 \quad\Longleftrightarrow\quad a > 1.
Além disso, o \Re(\lambda) = -1\neq 0, garantindo realmente um ponto em espiral (estável, pois \Re(\lambda)<0).

Resposta

a) O sistema planar é
X' = \begin{pmatrix} 0 & 1\\\\ -\,a & -2 \end{pmatrix}X.
b) A origem é uma espiral precisamente quando
a > 1.

Exercícios relacionados