3^{a} Questão: (2 pontos) Considere a equação diferencial de segunda ordem
(1)
x^{\prime \prime}+2 x^{\prime}+a x=0
\operatorname{com} a \in \mathbb{R}.
a) ( 1 pontos) Obtenha o sistema planar X^{\prime}=A X a partir de (1).
b) (1 ponto) Para quais valores de a a origem do sistema encontrado no item a) tem uma espiral?
Passo 1
O enunciado pede dois itens para a equação de segunda ordem
x'' + 2x' + a\,x = 0,
com a\in\mathbb{R}. Primeiro transformar essa equação num sistema planar da forma X'=A\,X. Depois, determinar para quais valores de a o ponto de equilíbrio na origem é um ponto em espiral. Vamos usar teoria de sistemas lineares, definindo variáveis de estado e analisando os autovalores da matriz.
A = \begin{pmatrix} 0 & 1\\\\ -\,a & -2 \end{pmatrix}.
Passo 4
Para analisar o tipo de ponto crítico na origem, calculamos os autovalores de A pela equação característica
\det(\lambda I - A) = \det\bigl(\begin{smallmatrix}\lambda & -1\\\ a & \lambda+2\end{smallmatrix}\bigr) = \lambda(\lambda+2) + a = \lambda^{2} + 2\lambda + a = 0.