Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(1+\frac{1}{2 x}\right)^{x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to+\infty}\Bigl(1+\frac{1}{2x}\Bigr)^{x}
Esse tipo de limite costuma usar o resultado fundamental
\lim_{t\to+\infty}\Bigl(1+\frac{1}{t}\Bigr)^{t}=e.

Passo 2

Reescrevemos a expressão de forma a usar o limite fundamental. Observe que
\Bigl(1+\frac{1}{2x}\Bigr)^{x} =\Bigl[\Bigl(1+\frac{1}{2x}\Bigr)^{2x}\Bigr]^{\frac12}.

Passo 3

Como 2x\to+\infty quando x\to+\infty, aplicamos
\lim_{x\to+\infty}\Bigl(1+\frac{1}{2x}\Bigr)^{2x} =\lim_{t\to+\infty}\Bigl(1+\frac{1}{t}\Bigr)^{t} =e.
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\lim_{x\to+\infty}\Bigl(1+\frac{1}{2x}\Bigr)^{x} =\bigl(e\bigr)^{\frac12} =\sqrt{e}.

Resposta

\sqrt{e}

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