Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\frac{x+2}{x+1}\right)^{x}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to+\infty}\Bigl(\frac{x+2}{x+1}\Bigr)^{x}.
O conteúdo principal aqui é limite de sequência/exponencial do tipo “ (1 + \frac{1}{n})^n”, que nos leva ao número e. Vamos usar manipulação algébrica para chegar a essa forma.

Passo 2

Reescrevemos o quociente dentro da potência como
\frac{x+2}{x+1} =1+\frac{1}{x+1}.
Agora façamos a mudança de variável
t = x+1, \qquad t\to+\infty\\ \text{quando}\\ x\to+\infty.
Então a expressão vira
\Bigl(1+\frac{1}{t}\Bigr)^{\,t-1}
porque x = t-1.

Passo 3

Separamos a potência assim:
\Bigl(1+\frac{1}{t}\Bigr)^{t-1} =\Bigl(1+\frac{1}{t}\Bigr)^{t}\;\Bigl(1+\frac{1}{t}\Bigr)^{-1}.
Sabemos o limite padrão
\lim_{t\to\infty}\Bigl(1+\frac{1}{t}\Bigr)^{t}=e,
e também
\lim_{t\to\infty}\Bigl(1+\frac{1}{t}\Bigr)^{-1}=1.
Multiplicando, o limite total é e\cdot1.

Resposta

e

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