Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x+2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to+\infty}\Bigl(1+\frac{1}{x}\Bigr)^{x+2}.
Este é um caso de limite que envolve a forma exponencial fundamental e o número e. Vamos usar a propriedade de que \lim_{x\to\infty}\bigl(1+\tfrac1x\bigr)^x=e.

Passo 2

Reescrevemos a potência separando-a em dois fatores:
\Bigl(1+\frac{1}{x}\Bigr)^{x+2} =\Bigl(1+\frac{1}{x}\Bigr)^{x}\,\Bigl(1+\frac{1}{x}\Bigr)^{2}.

Passo 3

Calculamos o primeiro limite. Sabe-se que
\lim_{x\to+\infty}\Bigl(1+\frac{1}{x}\Bigr)^{x}=e.
Isto é justamente a definição do número e.

Passo 4

Calculamos o segundo limite:
\lim_{x\to+\infty}\Bigl(1+\frac{1}{x}\Bigr)^{2} =\bigl(\lim_{x\to+\infty}(1+\tfrac1x)\bigr)^{2} =1^{2} =1.

Passo 5

Como o limite do produto é o produto dos limites (ambos finitos), temos
\lim_{x\to+\infty}\Bigl(1+\frac{1}{x}\Bigr)^{x+2} =e\cdot1 =e.

Resposta

e

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