Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x+2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to+\infty}\Bigl(1+\frac{1}{x}\Bigr)^{x+2}.
O conteúdo é limites exponenciais do tipo que definem o número e. Vamos usar a propriedade de separar a potência em dois fatores e o resultado clássico
\lim_{x\to+\infty}\Bigl(1+\frac{1}{x}\Bigr)^{x}=e.

Passo 2

Reescrevemos a expressão como produto de potências:
\Bigl(1+\frac{1}{x}\Bigr)^{x+2} =\Bigl(1+\frac{1}{x}\Bigr)^{x}\;\Bigl(1+\frac{1}{x}\Bigr)^{2}.

Passo 3

Avaliamo os limites de cada fator separadamente:
  1. \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\Bigl(1+\frac{1}{x}\Bigr)^{x}=e.
  2. \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\Bigl(1+\frac{1}{x}\Bigr)^{2} =\bigl(1+0\bigr)^{2}=1.

Passo 4

Pelo teorema do produto de limites, o limite original é
e\cdot1=e.

Resposta

e

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