Resolva as integrais
\int \ln (x) \sqrt{x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \ln(x)\,\sqrt{x}\,dx.
Este é um problema de integração por partes. Vamos usar a fórmula
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du.

Passo 2

Escolhemos as partes de modo que a diferenciação de \ln(x) simplifique a integral:
u = \ln(x) \quad\Longrightarrow\quad du = \frac{1}{x}\,dx,
dv = x^{\tfrac12}\,dx \quad\Longrightarrow\quad v = \int x^{\tfrac12}\,dx = \frac{2}{3}\,x^{\tfrac32}.

Passo 3

Aplicando a fórmula de integração por partes:
\int \ln(x)\,x^{\tfrac12}\,dx = u\,v - \int v\,du = \frac{2}{3}\,x^{\tfrac32}\ln(x) - \int \frac{2}{3}\,x^{\tfrac32}\cdot\frac{1}{x}\,dx.
Dentro da integral restante simplifica-se o expoente:
\int \frac{2}{3}\,x^{\tfrac32-1}\,dx = \frac{2}{3}\int x^{\tfrac12}\,dx.

Passo 4

Calculando \displaystyle \int x^{\tfrac12}\,dx = \frac{2}{3}\,x^{\tfrac32}, obtemos
\int \ln(x)\,\sqrt{x}\,dx = \frac{2}{3}\,x^{\tfrac32}\ln(x) - \frac{2}{3}\cdot\frac{2}{3}\,x^{\tfrac32} + C = \frac{2}{3}\,x^{\tfrac32}\ln(x) - \frac{4}{9}\,x^{\tfrac32} + C.

Resposta

\int \ln(x)\,\sqrt{x}\,dx = \frac{2}{3}\,x^{\tfrac32}\ln(x) - \frac{4}{9}\,x^{\tfrac32} + C.

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