Resolva a equação diferencial \frac{d y}{d x}=x e^{-\operatorname{sen} x}-y \cos x.
\square y=\left(\frac{1}{2} x^{2}+c\right) e^{-\operatorname{sen} x}
\square y=\left(\frac{x^{2}+c}{3}\right) \operatorname{sen} x
\square y=\left(\frac{x^{3}+c}{3}\right) e^{\operatorname{sen} x}
y=\left(x^{2}+c\right) \operatorname{sen} x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO de primeira ordem
\frac{dy}{dx}=x\,e^{-\sin x}-y\cos x.
Este é um caso de equação linear na forma
\frac{dy}{dx}+P(x)\,y=Q(x),
com P(x)=\cos x e Q(x)=x\,e^{-\sin x}. Vamos usar o fator integrante para resolver.

Passo 2

Calculamos o fator integrante
\mu(x)=\exp\Bigl(\int P(x)\,dx\Bigr) =\exp\Bigl(\int \cos x\,dx\Bigr) =\exp\bigl(\sin x\bigr).
Multiplicando a equação original por \mu(x), temos
e^{\sin x}\,\frac{dy}{dx}+e^{\sin x}\,y\cos x =x.

Passo 3

Observe que o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto y\,e^{\sin x}, pois
\frac{d}{dx}\bigl(y\,e^{\sin x}\bigr) =e^{\sin x}\,\frac{dy}{dx} + y\,e^{\sin x}\cos x.
Logo a equação fica
\frac{d}{dx}\bigl(y\,e^{\sin x}\bigr)=x.

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a x:
y\,e^{\sin x}=\int x\,dx=\frac{x^2}{2}+c,
onde c é a constante de integração.

Passo 5

Isolando y, obtemos a solução geral
y=\Bigl(\frac{x^2}{2}+c\Bigr)\,e^{-\sin x}.

Resposta

A solução é
y=\Bigl(\tfrac{1}{2}x^2+c\Bigr)e^{-\sin x},
ou seja, a primeira das opções.

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