Calcule os seguintes limites:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá:
- Pede calcular o limite quando
tende a da função . - Informação dada: a expressão é
e a variável cresce sem limite para .
Passo 2
Ideia principal (transformação que facilita): quando temos uma expressão na forma
com
, é muito útil tomar o logaritmo natural. Se
então
Se o limite
existe (é finito), então pela continuidade da exponencial o limite original é
Essa transformação reduz um caso “base variando e expoente variando” a um limite de soma/produto mais simples.
Passo 3
Aplicando ao nosso problema: definimos
Tomando logaritmo,
Observação algébrica útil:
portanto
Passo 4
Queremos calcular
Uma técnica prática é escrever o fator de forma que apareça a forma padrão
, cuja propriedade conhecemos. Reescrevemos:
Passo 5
Agora analisamos os três fatores no produto acima quando
.
- O terceiro fator tem a forma padrão: se
então
Justificativa rápida: aplicando a regra de l’Hôpital (numerador e denominador tendem a
), tem-se
No nosso caso
quando
, então o terceiro fator tende a
.
- O primeiro dois fatores combinados:
Quando
, tem-se
. Logo esse produto tende a
.
Portanto, multiplicando limites (fatores tendendo a limites finitos),
Passo 6
Voltando à transformação exponencial do Passo 2: como
, pela continuidade da exponencial segue que