Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\frac{x+1}{x-1}\right)^{x}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá:
  • Pede calcular o limite quando x tende a +\infty da função \left(\dfrac{x+1}{x-1}\right)^{x}.
  • Informação dada: a expressão é \left(\dfrac{x+1}{x-1}\right)^{x} e a variável x cresce sem limite para +\infty.

Passo 2

Ideia principal (transformação que facilita): quando temos uma expressão na forma f(x)^{g(x)} com f(x)>0, é muito útil tomar o logaritmo natural. Se
y(x)=f(x)^{g(x)},
então
\ln y(x)=g(x)\ln f(x).
Se o limite
L=\lim_{x\to+\infty} g(x)\ln f(x)
existe (é finito), então pela continuidade da exponencial o limite original é
\lim_{x\to+\infty} f(x)^{g(x)}=\mathrm{e}^{L}.
Essa transformação reduz um caso “base variando e expoente variando” a um limite de soma/produto mais simples.

Passo 3

Aplicando ao nosso problema: definimos
y(x)=\left(\frac{x+1}{x-1}\right)^{x}.
Tomando logaritmo,
\ln y(x)=x\ln\!\left(\frac{x+1}{x-1}\right).
Observação algébrica útil:
\frac{x+1}{x-1}=1+\frac{2}{x-1},
portanto
\ln y(x)=x\ln\!\left(1+\frac{2}{x-1}\right).

Passo 4

Queremos calcular
L=\lim_{x\to+\infty} x\ln\!\left(1+\frac{2}{x-1}\right).
Uma técnica prática é escrever o fator de forma que apareça a forma padrão \dfrac{\ln(1+u)}{u}, cuja propriedade conhecemos. Reescrevemos:
x\ln\!\left(1+\frac{2}{x-1}\right) = x\cdot\frac{2}{x-1}\cdot \frac{\ln\!\left(1+\dfrac{2}{x-1}\right)}{\dfrac{2}{x-1}}.

Passo 5

Agora analisamos os três fatores no produto acima quando x\to+\infty.
  1. O terceiro fator tem a forma padrão: se u\to0 então
\lim_{u\to0}\frac{\ln(1+u)}{u}=1.
Justificativa rápida: aplicando a regra de l’Hôpital (numerador e denominador tendem a 0), tem-se
\lim_{u\to0}\frac{\ln(1+u)}{u}=\lim_{u\to0}\frac{1/(1+u)}{1}=1.
No nosso caso u=\dfrac{2}{x-1}\to0 quando x\to+\infty, então o terceiro fator tende a 1.
  1. O primeiro dois fatores combinados:
x\cdot\frac{2}{x-1}=2\cdot\frac{x}{x-1}.
Quando x\to+\infty, tem-se \dfrac{x}{x-1}\to1. Logo esse produto tende a 2.
Portanto, multiplicando limites (fatores tendendo a limites finitos),
L=\lim_{x\to+\infty} x\ln\!\left(1+\frac{2}{x-1}\right)=2\cdot 1=2.

Passo 6

Voltando à transformação exponencial do Passo 2: como \ln y(x)\to L=2, pela continuidade da exponencial segue que
\lim_{x\to+\infty} y(x)=\mathrm{e}^{L}.

Resposta

\mathrm{e}^{2}

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