Calcule os seguintes limites:
Passo 1
O que o problema pede e o que é dado:
- Pede calcular o limite quando
tende para da expressão . - Informação dada: a variável
cresce sem limite positivo ( ). - Objetivo final: encontrar o valor numérico (se existir) do limite
Passo 2
Transformação útil: tomar logaritmo para manejar potência com expoente variável.
- Defino
- Como a função exponencial
é contínua e estritamente positiva, é habitual calcular primeiro
e então recuperar
. Se
existir e for finito, então
(Isto é só usar a continuidade de
.)
Passo 3
Reescrever o logaritmo de forma a isolar termo do tipo
.
- Observação algébrica:
pois
.
- Portanto
Passo 4
Separar termos para facilitar o limite.
- Escrevo
e uso isso em :
- Agora analiso os dois termos separados quando
.
Passo 5
Calcular o limite do primeiro termo principal
.
- Faça a substituição
. Quando , . O termo vira
- Para avaliar
é conveniente usar a mudança . Então e
- Agora aplico o limite
. A forma é , que tende a . Uma maneira direta de ver isso é usar a regra de L’Hôpital: derivando numerador e denominador em relação a ,
- Conclusão:
Passo 6
Calcular o limite do termo residual
.
- Quando
, temos , logo . - Multiplicando por
, resulta
Passo 7
Combinar os limites para obter
e voltar à exponencial.
- Somando os dois resultados obtidos:
- Como
e a exponencial é contínua,