Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\frac{x+4}{x-3}\right)^{x}

Passo 1

O que o problema pede e o que é dado:
  • Pede calcular o limite quando x tende para +\infty da expressão \left(\dfrac{x+4}{x-3}\right)^{x}.
  • Informação dada: a variável x cresce sem limite positivo ( x \to +\infty).
  • Objetivo final: encontrar o valor numérico (se existir) do limite
\lim_{x \to +\infty}\left(\frac{x+4}{x-3}\right)^{x}.

Passo 2

Transformação útil: tomar logaritmo para manejar potência com expoente variável.
  • Defino
y(x)=\left(\frac{x+4}{x-3}\right)^{x}.
  • Como a função exponencial e^{t} é contínua e estritamente positiva, é habitual calcular primeiro
\ln y(x)=x\ln\!\left(\frac{x+4}{x-3}\right)
e então recuperar y(x)=\mathrm{e}^{\ln y(x)}. Se \lim_{x\to\infty}\ln y(x)=L existir e for finito, então
\lim_{x\to\infty} y(x)=\mathrm{e}^{L}.
(Isto é só usar a continuidade de e^{t}.)

Passo 3

Reescrever o logaritmo de forma a isolar termo do tipo \ln(1+\text{algo pequeno}).
  • Observação algébrica:
\frac{x+4}{x-3} = 1 + \frac{7}{x-3},
pois x+4 = (x-3)+7.
  • Portanto
\ln y(x)=x\ln\!\left(1+\frac{7}{x-3}\right).

Passo 4

Separar termos para facilitar o limite.
  • Escrevo x=(x-3)+3 e uso isso em \ln y(x):
\ln y(x) = (x-3)\ln\!\left(1+\frac{7}{x-3}\right) + 3\ln\!\left(1+\frac{7}{x-3}\right).
  • Agora analiso os dois termos separados quando x\to+\infty.

Passo 5

Calcular o limite do primeiro termo principal (x-3)\ln\!\left(1+\dfrac{7}{x-3}\right).
  • Faça a substituição u=x-3. Quando x\to+\infty, u\to+\infty. O termo vira
u\ln\!\left(1+\frac{7}{u}\right).
  • Para avaliar \lim_{u\to\infty} u\ln\!\left(1+\dfrac{7}{u}\right) é conveniente usar a mudança v=\dfrac{1}{u}. Então v\to 0^{+} e
u\ln\!\left(1+\frac{7}{u}\right)=\frac{\ln(1+7v)}{v}.
  • Agora aplico o limite v\to 0^{+}. A forma é \dfrac{\ln(1+7v)}{v}, que tende a 7. Uma maneira direta de ver isso é usar a regra de L’Hôpital: derivando numerador e denominador em relação a v,
\lim_{v\to 0}\frac{\ln(1+7v)}{v}=\lim_{v\to 0}\frac{7/(1+7v)}{1}=\frac{7}{1}=7.
  • Conclusão:
\lim_{x\to\infty}(x-3)\ln\!\left(1+\frac{7}{x-3}\right)=7.

Passo 6

Calcular o limite do termo residual 3\ln\!\left(1+\dfrac{7}{x-3}\right).
  • Quando x\to\infty, temos \dfrac{7}{x-3}\to 0, logo \ln\!\left(1+\dfrac{7}{x-3}\right)\to 0.
  • Multiplicando por 3, resulta
\lim_{x\to\infty} 3\ln\!\left(1+\frac{7}{x-3}\right)=3\cdot 0=0.

Passo 7

Combinar os limites para obter \lim \ln y(x) e voltar à exponencial.
  • Somando os dois resultados obtidos:
\lim_{x\to\infty}\ln y(x)=7+0=7.
  • Como y(x)=\mathrm{e}^{\ln y(x)} e a exponencial é contínua,
\lim_{x\to\infty} y(x)=\mathrm{e}^{\,7}.

Resposta

\mathrm{e}^{7}

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