Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\frac{x+2}{x+1}\right)^{x}

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dado o termo \left(\dfrac{x+2}{x+1}\right)^{x}.
  • Pede o limite quando x tende para +\infty, ou seja calcular \displaystyle \lim_{x\to+\infty}\left(\frac{x+2}{x+1}\right)^{x}.
  • Informação útil a observar: para x>-1 o quociente \dfrac{x+2}{x+1} é positivo, então o logaritmo natural da expressão está bem definido (isso permite usar \ln para facilitar o cálculo).

Passo 2

Primeira transformação para deixar o formato mais familiar:
\frac{x+2}{x+1}=1+\frac{1}{x+1}.
Portanto a expressão pode ser escrita como
\left(\frac{x+2}{x+1}\right)^{x}=\left(1+\frac{1}{x+1}\right)^{x}.

Passo 3

Estratégia: tomar o logaritmo natural para transformar a potência em produto (isso facilita cálculos de limites). Seja
L=\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{1}{x+1}\right)^{x}.
Defina
y(x)=\ln\left(1+\frac{1}{x+1}\right)^{x}=x\ln\left(1+\frac{1}{x+1}\right).
Se conseguirmos \lim_{x\to+\infty}y(x)=\ell, então pela continuidade da função exponencial teremos L=\mathrm{e}^{\ell}.

Passo 4

Manipular y(x) para aproveitar um limite clássico. Escrevemos
y(x)=\frac{x}{x+1}\cdot (x+1)\ln\left(1+\frac{1}{x+1}\right).
Observe que \displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{x}{x+1}=1. Resta analisar o limite
A(x)=(x+1)\ln\left(1+\frac{1}{x+1}\right).
Fazendo a mudança de variável t=x+1 (então t\to+\infty quando x\to+\infty), temos
A(t)=t\ln\left(1+\frac{1}{t}\right)=\frac{\ln\left(1+\dfrac{1}{t}\right)}{\dfrac{1}{t}}.

Passo 5

Cálculo do limite de A(t) usando L’Hôpital (ou usando a aproximação \ln(1+u)\sim u quando u\to0):
  • Tanto o numerador \ln(1+\tfrac{1}{t}) quanto o denominador \tfrac{1}{t} tendem a 0 quando t\to+\infty, então podemos aplicar L’Hôpital:
\lim_{t\to+\infty}\frac{\ln\left(1+\dfrac{1}{t}\right)}{\dfrac{1}{t}} =\lim_{t\to+\infty}\frac{\dfrac{d}{dt}\ln\left(1+\dfrac{1}{t}\right)}{\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{1}{t}\right)}.
Calcule as derivadas:
\frac{d}{dt}\ln\left(1+\frac{1}{t}\right)=\frac{1}{1+\tfrac{1}{t}}\cdot\left(-\frac{1}{t^{2}}\right) \quad\text{e}\quad \frac{d}{dt}\left(\frac{1}{t}\right)=-\frac{1}{t^{2}}.
Assim o quociente das derivadas é
\frac{\dfrac{1}{1+\tfrac{1}{t}}\cdot\left(-\dfrac{1}{t^{2}}\right)}{-\dfrac{1}{t^{2}}}=\frac{1}{1+\tfrac{1}{t}}.
Tomando limite t\to+\infty obtemos
\lim_{t\to+\infty}A(t)=\lim_{t\to+\infty}\frac{1}{1+\tfrac{1}{t}}=1.

Passo 6

Retornando a y(x): como \displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{x}{x+1}=1 e \displaystyle \lim_{x\to+\infty}(x+1)\ln\left(1+\frac{1}{x+1}\right)=1, pelo produto de limites obtemos
\lim_{x\to+\infty}y(x)=1\cdot 1 = 1.
Logo \displaystyle \lim_{x\to+\infty}\ln\left(1+\frac{1}{x+1}\right)^{x}=1.

Passo 7

Concluir o limite original aplicando a exponencial (função contínua):
\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{1}{x+1}\right)^{x}=\mathrm{e}^{1}=\mathrm{e}.
Intuição rápida: a expressão é muito próxima de \left(1+\dfrac{1}{x+1}\right)^{x+1}, cujo limite clássico é \mathrm{e}, e o fator x/(x+1) só muda o expoente por uma quantidade que tende a 1.

Resposta

\mathrm{e}

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