Calcule os seguintes limites:
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dado o termo
. - Pede o limite quando
tende para , ou seja calcular . - Informação útil a observar: para
o quociente é positivo, então o logaritmo natural da expressão está bem definido (isso permite usar para facilitar o cálculo).
Passo 2
Primeira transformação para deixar o formato mais familiar:
Portanto a expressão pode ser escrita como
Passo 3
Estratégia: tomar o logaritmo natural para transformar a potência em produto (isso facilita cálculos de limites). Seja
Defina
Se conseguirmos
, então pela continuidade da função exponencial teremos
.
Passo 4
Manipular
para aproveitar um limite clássico. Escrevemos
Observe que
. Resta analisar o limite
Fazendo a mudança de variável
(então
quando
), temos
Passo 5
Cálculo do limite de
usando L’Hôpital (ou usando a aproximação
quando
):
- Tanto o numerador
quanto o denominador tendem a quando , então podemos aplicar L’Hôpital:
Calcule as derivadas:
Assim o quociente das derivadas é
Tomando limite
obtemos
Passo 6
Retornando a
: como
e
, pelo produto de limites obtemos
Logo
.
Passo 7
Concluir o limite original aplicando a exponencial (função contínua):
Intuição rápida: a expressão é muito próxima de
, cujo limite clássico é
, e o fator
só muda o expoente por uma quantidade que tende a
.