Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\frac{x-3}{x+2}\right)^{-x}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{x-3}{x+2}\right)^{-x}.
Informações relevantes dadas:
  • A variável x tende para +\infty.
  • A expressão é uma potência em que a base é \dfrac{x-3}{x+2} e o expoente é -x.
    O objetivo é encontrar o valor numérico desse limite.

Passo 2

Primeiro simplifico a base para ver uma forma mais conveniente. Faço a divisão:
\frac{x-3}{x+2}=\frac{x+2-5}{x+2}=1-\frac{5}{x+2}.
Portanto a expressão do limite fica
\left(1-\frac{5}{x+2}\right)^{-x}.

Passo 3

Para manipular o expoente de forma mais limpa, faço a substituição t=x+2. Então t\to+\infty quando x\to+\infty e x=t-2. Reescrevo a expressão usando t:
\left(1-\frac{5}{t}\right)^{-(t-2)}.
Expando o expoente -(t-2)=-t+2 e separo em dois fatores:
\left(1-\frac{5}{t}\right)^{-(t-2)}=\left(1-\frac{5}{t}\right)^{-t}\cdot\left(1-\frac{5}{t}\right)^{2}.

Passo 4

Analiso cada fator separadamente. Primeiro o segundo fator:
\lim_{t\to+\infty}\left(1-\frac{5}{t}\right)^{2}=1^{2}=1,
porque \dfrac{5}{t}\to0 e assim a base tende a 1.

Passo 5

Agora o fator principal \left(1-\dfrac{5}{t}\right)^{-t}. Esse tipo de limite é do tipo padrão \displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{a}{n}\right)^{n}=e^{a}. Vou justificar rapidamente esse resultado (é um fato clássico):
Seja g(t)=\left(1+\dfrac{a}{t}\right)^{t}. Tome logaritmo natural:
\ln g(t)=t\ln\!\left(1+\frac{a}{t}\right).
Para u\to0 vale \ln(1+u)\sim u (ou seja \lim_{u\to0}\dfrac{\ln(1+u)}{u}=1). Aplicando isso com u=\dfrac{a}{t} obtemos
\ln g(t)=t\cdot\left(\frac{a}{t}+o\!\left(\frac{1}{t}\right)\right)=a+o(1),
portanto \ln g(t)\to a e logo g(t)\to e^{a}.
No nosso caso a=-5. Então
\lim_{t\to+\infty}\left(1-\frac{5}{t}\right)^{t}=e^{-5}.
Como queremos \left(1-\dfrac{5}{t}\right)^{-t}, isto é o inverso, obtemos
\lim_{t\to+\infty}\left(1-\frac{5}{t}\right)^{-t}=e^{5}.

Passo 6

Multiplico os limites dos fatores (produto de limites quando ambos existem):
\lim_{t\to+\infty}\left(1-\frac{5}{t}\right)^{-t}\cdot\left(1-\frac{5}{t}\right)^{2}=e^{5}\cdot 1=e^{5}.

Resposta

e^{5}

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