Calcule os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações relevantes dadas:
- A variável
tende para . - A expressão é uma potência em que a base é
e o expoente é .
O objetivo é encontrar o valor numérico desse limite.
Passo 2
Primeiro simplifico a base para ver uma forma mais conveniente. Faço a divisão:
Portanto a expressão do limite fica
Passo 3
Para manipular o expoente de forma mais limpa, faço a substituição
. Então
quando
e
. Reescrevo a expressão usando
:
Expando o expoente
e separo em dois fatores:
Passo 4
Analiso cada fator separadamente. Primeiro o segundo fator:
porque
e assim a base tende a
.
Passo 5
Agora o fator principal
. Esse tipo de limite é do tipo padrão
. Vou justificar rapidamente esse resultado (é um fato clássico):
Seja
. Tome logaritmo natural:
Para
vale
(ou seja
). Aplicando isso com
obtemos
portanto
e logo
.
No nosso caso
. Então
Como queremos
, isto é o inverso, obtemos
Passo 6
Multiplico os limites dos fatores (produto de limites quando ambos existem):