Encontre os limites usando uma subistituição apropriada:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas:
- A variável
tende a pela esquerda (isto é, valores negativos que se aproximam de zero). - A expressão é a função exponencial com expoente
.
O que se precisa entregar: o valor (número) desse limite quandose aproxima de pela esquerda.
Passo 2
Por que uma substituição ajuda aqui? Quando
se aproxima de
pela esquerda, o valor
tende a um comportamento de grande magnitude (não finito). Para tornar isso explícito, fazemos a substituição simples
Explicando a substituição:
é uma nova variável que representa o expoente. Essa mudança é legítima porque a relação
é bijetiva no intervalo de interesse (para
), então estudar
equivale a estudar
algum extremo (infinito).
Passo 3
Agora relacionar os limites entre
e
. Quando
temos
e
ficando pequeno, então
é um número negativo com módulo grande; portanto
Usando essa substituição, a expressão do limite fica
Passo 4
Agora avaliar
. Vamos entender o comportamento da função exponencial para
muito negativo. Uma forma clara de ver isso é escrever
Quando
, temos
, e sabe-se que
tende para
. Ou seja,
. Como o numerador é
e o denominador diverge para
, a fração tende a
. Intuitivamente: a exponencial decai rapidamente para zero quando o expoente vai para
.
(Outra visão rápida, só pra fixar) Poderíamos também fazer . Para
temos
e a expressão vira
, que tende a
quando
. Confirma a mesma conclusão.
(Outra visão rápida, só pra fixar) Poderíamos também fazer
Passo 5
Resumo da lógica: com a substituição
transformou-se o limite em
; como a exponencial tende a
quando o expoente vai para
, o limite pedido é
.