Encontre os limites usando uma subistituição apropriada:
\lim _{x \rightarrow 0^{-}} e^{\frac{1}{x}}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 0^{-}} e^{\frac{1}{x}}.
Informações dadas:
  • A variável x tende a 0 pela esquerda (isto é, valores negativos que se aproximam de zero).
  • A expressão é a função exponencial com expoente \dfrac{1}{x}.
    O que se precisa entregar: o valor (número) desse limite quando x se aproxima de 0 pela esquerda.

Passo 2

Por que uma substituição ajuda aqui? Quando x se aproxima de 0 pela esquerda, o valor \dfrac{1}{x} tende a um comportamento de grande magnitude (não finito). Para tornar isso explícito, fazemos a substituição simples
t=\frac{1}{x}.
Explicando a substituição: t é uma nova variável que representa o expoente. Essa mudança é legítima porque a relação t=1/x é bijetiva no intervalo de interesse (para x\neq0), então estudar x\to0^{-} equivale a estudar t\to algum extremo (infinito).

Passo 3

Agora relacionar os limites entre x e t. Quando x\to0^{-} temos x<0 e |x| ficando pequeno, então 1/x é um número negativo com módulo grande; portanto
\text{se } x\to 0^{-}\quad\text{então}\quad t=\frac{1}{x}\to -\infty.ã
Usando essa substituição, a expressão do limite fica
\lim_{x\to 0^{-}} e^{\frac{1}{x}} = \lim_{t\to -\infty} e^{t}.

Passo 4

Agora avaliar \lim_{t\to -\infty} e^{t}. Vamos entender o comportamento da função exponencial para t muito negativo. Uma forma clara de ver isso é escrever
e^{t}=\frac{1}{e^{-t}}.
Quando t\to -\infty, temos -t\to +\infty, e sabe-se que e^{\text{grande}} tende para +\infty. Ou seja, e^{-t}\to +\infty. Como o numerador é 1 e o denominador diverge para +\infty, a fração tende a 0. Intuitivamente: a exponencial decai rapidamente para zero quando o expoente vai para -\infty.
(Outra visão rápida, só pra fixar) Poderíamos também fazer s=-\dfrac{1}{x}. Para x\to0^{-} temos s\to +\infty e a expressão vira e^{-s}, que tende a 0 quando s\to+\infty. Confirma a mesma conclusão.

Passo 5

Resumo da lógica: com a substituição t=1/x transformou-se o limite em \lim_{t\to -\infty} e^{t}; como a exponencial tende a 0 quando o expoente vai para -\infty, o limite pedido é 0.

Resposta

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