Considere a função f(x)=x^{2} e sabendo que sua derivada é f^{\prime}(x)=2 x, calcule a inclinação de f em:
a) x=-1

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dado: a função f(x)=x^{2}.
  • Dado: a derivada (já fornecida) f^{\prime}(x)=2x.
  • Pedido: calcular a inclinação de f em x=-1 (isto é, a inclinação da reta tangente à curva no ponto com abscissa -1).
Informações extraídas da imagem (peguei estes números da imagem):
  • Ponto A parece estar em (-1,\,1).
  • Ponto B está em (0,\,0).
  • Ponto C está em (2,\,4).

Passo 2

O que significa “inclinação” aqui (pequena aula): a inclinação da curva num ponto é a inclinação da reta tangente naquele ponto. A derivada de uma função no ponto fornece justamente essa inclinação. Ou seja:
\text{inclinação em }x=a \;=\; f'(a).çã
Explicando as letras: a é a abscissa do ponto onde queremos a inclinação; f'(a) é o valor da derivada avaliada em a, que dá um número (a razão de variação de y por unidade de x naquele ponto).

Passo 3

Aplicando a regra ao nosso caso: queremos a inclinação em x=-1. Usamos a derivada dada f'(x)=2x e substituímos x=-1. Escrevendo passo a passo:
f'(-1)=2\cdot(-1).

Passo 4

Calcule o produto:
f'(-1)=2\cdot(-1)=-2.
Interpretação simples: a inclinação é -2, ou seja, a reta tangente no ponto com x=-1 desce 2 unidades em y para cada 1 unidade que avança em x (movendo-se para a direita).

Passo 5

Se quiser também a equação da reta tangente (fórmula útil na prova): a equação da reta tangente em x=a é
y=f(a)+f'(a)(x-a).
Aqui a=-1, f(-1)=(-1)^{2}=1 e f'(-1)=-2. Substituindo:
y=1+(-2)(x-(-1))=1-2(x+1)= -2x-1.
Então a reta tangente em (-1,1) tem equação y=-2x-1. Isso confirma geometricamente a inclinação -2.

Resposta

-2

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