- Mostre que a equação
admite, pelo menos, uma raiz real.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a equação
tem pelo menos uma solução real. O conteúdo que vamos usar é o Teorema do Valor Intermediário (ou Teorema de Bolzano), que diz que se uma função contínua muda de sinal num intervalo, então ela se anula em algum ponto desse intervalo.
Passo 2
Definimos a função
Como
é um polinômio, sabemos que ela é contínua em todo
.
Passo 3
Vamos avaliar
em dois pontos distintos para buscar uma troca de sinal:
Portanto,
e
.
Passo 4
Como
é contínua em
e muda de sinal entre os extremos desse intervalo, o Teorema do Valor Intermediário garante que existe pelo menos um
tal que
Resposta
A equação
admite, pelo menos, uma raiz real em algum ponto
.