1. Mostre que a equação x^5+2 x^2+1=0 admite, pelo menos, uma raiz real.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a equação
x^5 + 2x^2 + 1 = 0
tem pelo menos uma solução real. O conteúdo que vamos usar é o Teorema do Valor Intermediário (ou Teorema de Bolzano), que diz que se uma função contínua muda de sinal num intervalo, então ela se anula em algum ponto desse intervalo.

Passo 2

Definimos a função
f(x) = x^5 + 2x^2 + 1
Como f é um polinômio, sabemos que ela é contínua em todo R.

Passo 3

Vamos avaliar f em dois pontos distintos para buscar uma troca de sinal:
f(-2) = (-2)^5 + 2(-2)^2 + 1 = -32 + 2cdot 4 + 1 = -32 + 8 + 1 = -23 < 0,
f(-1) = (-1)^5 + 2(-1)^2 + 1 = -1 + 2cdot1 + 1 = 2 > 0
Portanto, f(-2)<0 e f(-1)>0.

Passo 4

Como f é contínua em [-2,-1] e muda de sinal entre os extremos desse intervalo, o Teorema do Valor Intermediário garante que existe pelo menos um cin(-2,-1) tal que
f(c) = 0

Resposta

A equação x^5+2x^2+1=0 admite, pelo menos, uma raiz real em algum ponto cin(-2,-1).

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