Calcule os seguintes limites
lim x 1 x^2-2 x+1x^4-2 x^3+2 x^2-2 x+1

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
limxto1x^2-2x+1x^4-2x^3+2x^2-2x+1
O conteúdo aqui é limite de função racional e, ao substituir x=1, teremos uma indeterminação do tipo tfrac00, o que nos leva a fatorar polinômios para simplificar.

Passo 2

Verificamos a forma indeterminada substituindo x=1:
numerador = 1^2-2cdot1+1 = 0, denominador = 1^4-2cdot1^3+2cdot1^2-2cdot1+1 = 0
Como deu 0/0, precisamos reescrever a fração de modo a cancelar o fator comum.

Passo 3

Fatoramos o numerador, que é um quadrado perfeito:
x^2-2x+1 = (x-1)^2

Passo 4

Para fatorar o denominador, agrupamos termos de forma inteligente:
x^4-2x^3+2x^2-2x+1 = l(x^4-2x^3+x^2r)+l(x^2-2x+1r) = x^2(x-1)^2 + (x-1)^2 = (x-1)^2(x^2+1)

Passo 5

Substituindo as fatorações na fração original, temos para xneq1:
(x-1)^2(x-1)^2(x^2+1) = 1x^2+1
Agora o limite deixa de ser indeterminado e fica
limxto11x^2+1 = 11+1 = 12

Resposta

12

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