Calcule os seguintes limites:
\lim _{(x, y) \rightarrow(2,-1)} \frac{3 x-2 y}{x+4 y}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{(x,y)\to(2,-1)} \frac{3x - 2y}{x + 4y}
Este é um limite de função de duas variáveis. Vamos usar o fato de que quocientes de polinômios são contínuos onde o denominador não se anula.

Passo 2

Definimos
f(x,y) = \frac{3x - 2y}{x + 4y}.
Para aplicar a continuidade, verificamos o denominador no ponto (2,-1):
x + 4y\bigl|_{(2,-1)} = 2 + 4(-1) = -2 \neq 0.
Como o denominador é diferente de zero, f é contínua em (2,-1) e o limite é dado pela substituição direta.

Passo 3

Calculamos o numerador e o denominador em (2,-1):
3x - 2y\bigl|_{(2,-1)} = 3\cdot2 - 2\cdot(-1) = 6 + 2 = 8,
x + 4y\bigl|_{(2,-1)} = -2.

Passo 4

Portanto,
\lim_{(x,y)\to(2,-1)} \frac{3x - 2y}{x + 4y} = \frac{8}{-2} = -4.

Resposta

-4

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