Questão 3(\mathbf{3 , 0}) : Uma barra metálica com comprimento L=2 \pi \mathrm{~cm} e difusividade térmica igual a 4 \mathrm{~cm}^{2} / \mathrm{s} está termicamente isolada, inclusive em suas extremidades. A distribuição inicial de temperatura ao longo da barra é descrita pela função f(x)=\cos ^{2} x, para 0 \leq x \leq 2 \pi. Determine a distribuição de temperatura u(x, t).

Passo 1

O enunciado dá a barra metálica de comprimento L=2\pi termicamente isolada nas duas extremidades, com difusividade térmica k=4 (unidade \mathrm{cm}^2/\mathrm{s}). A equação do calor é
u_t = k\,u_{xx},
com condições de contorno de Neumann
u_x(0,t)=0, \quad u_x(2\pi,t)=0,
e condição inicial
u(x,0)=f(x)=\cos^2 x.

Passo 2

Para problema isolado em 0\le x\le L usamos série de Fourier em cossenos. A solução geral é
u(x,t)=A_0+\sum_{n=1}^{\infty}A_n\,e^{-k\,(n\pi/L)^2\,t}\cos\!\bigl(n\pi x/L\bigr),
onde
A_0=\frac{1}{L}\int_{0}^{L}f(x)\,dx, \quad A_n=\frac{2}{L}\int_{0}^{L}f(x)\cos\!\bigl(n\pi x/L\bigr)\,dx.

Passo 3

Expandimos a condição inicial
\cos^2 x = \frac{1+\cos(2x)}{2}.
Note que \cos(2x)=\cos\!\bigl(4\pi x/(2\pi)\bigr), ou seja, só aparece o modo n=4 na série além do termo constante.

Passo 4

Calculamos os coeficientes:
A_0=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\cos^2 x\,dx =\frac{1}{2\pi}\cdot\pi =\frac12,
A_4=\frac{2}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\frac{1+\cos(2x)}{2}\cos\!\bigl(4\pi x/(2\pi)\bigr)\,dx =\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}\frac{1+\cos(2x)}{2}\cos(2x)\,dx =\frac12,
e todos os outros A_n=0 para n\neq4.

Passo 5

Substituindo em
u(x,t)=A_0 + A_4\,e^{-k\,(4\pi/(2\pi))^2\,t}\cos\!\bigl(4\pi x/(2\pi)\bigr)
com k=4 e 4\pi/(2\pi)=2, obtemos
u(x,t)=\frac12 + \frac12\,e^{-4\cdot2^2\,t}\cos(2x) =\frac12 + \frac12\,e^{-16t}\cos(2x).

Resposta

u(x,t)=\frac12 + \frac12\,e^{-16t}\cos(2x).

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