Calcule os seguintes limites
lim (x, y) (0,1) sin x yx y

Passo 1

Estamos calculando o limite de duas variáveis da função f(x,y)=sin(xy)xy quando (x,y)to(0,1). O conteúdo aqui é limite de função de duas variáveis e vamos usar a substituição de variável para reduzir a um limite unidimensional.

Passo 2

Quando (x,y)to(0,1), o produto xy tende a 0cdot1=0. Logo, basta observar o comportamento de t=xy conforme tto0.

Passo 3

Definindo t=xy, reescrevemos f(x,y) como sin tt e vemos que à medida que (x,y)to(0,1), temos tto0.

Passo 4

Sabemos pelo limite fundamental em cálculo que
limtto0sin tt=1
Portanto, o limite bidimensional também vale 1.

Resposta

1

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