Verifique em quais pontos as funções abaixo são contínuas
f(x, y)=lx^3x^2+y^2, se (x, y) neq(0,0), 0, caso contrário á

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)=x^3x^2+y^2,&(x,y)neq(0,0),0,&(x,y)=(0,0)
Queremos testar a continuidade de f em cada ponto de R^2. O conteúdo aqui é continuidade de funções de duas variáveis; vamos usar que polinômios são contínuos e que o quociente de funções contínuas (com denominador não nulo) também é contínuo, além da definição de limite para verificar a continuidade em (0,0).

Passo 2

Para qualquer ponto (x,y)neq(0,0), o numerador x^3 e o denominador x^2+y^2 são polinômios, logo contínuos. Como x^2+y^2neq0 nesse caso, o quociente
x^3x^2+y^2
é também contínuo. Portanto f é contínua em todo ponto (x,y) com (x,y)neq(0,0).

Passo 3

Para analisar a continuidade em (0,0), calculamos o limite quando (x,y)to(0,0). Em coordenadas polares escrevemos x=rcostheta, y=rsintheta, com r=raizx^2+y^2. Então
f(r,theta)=(rcostheta)^3r^2=rcos^3theta
Como |cos^3theta|<=1, temos
|f(r,theta)|=|rcos^3theta|<= r
Quando rto0, isso força f(r,theta)to0, ou seja
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0=f(0,0)
Pela definição de continuidade, f é contínua em (0,0).

Resposta

A função f é contínua em todo o plano R^2.

Exercícios relacionados