Verifique em quais pontos as funções abaixo são contínuas
Passo 1
O enunciado dá uma função de duas variáveis f(x,y), definida por parte: para (x,y)≠(0,0) temos f(x,y)=ln\bigl((x−y)/(x²+y²)\bigr), e f(0,0)=0. O conteúdo é continuidade em R², e vamos usar propriedades de funções compostas (ln) e checar limite no origem.
Passo 2
Para (x,y)≠(0,0), o argumento de ln deve ser positivo:
. Como
fora da origem, basta exigir
, isto é,
. Nesses pontos, f é composição de funções contínuas (diferença, quociente e ln), logo f é contínua sempre que (x,y)≠(0,0) e x>y.
Passo 3
Se em algum ponto (x,y)≠(0,0) tivermos x−y≤0, então (x−y)/(x²+y²)≤0 e ln não está definido ali. Portanto f não existe nesses pontos e, a fortiori, não é contínua.
Passo 4
No ponto (0,0), queremos ver se
. Escolhendo, por exemplo, y=0 e x→0⁺, temos f(x,0)=ln\bigl(x/x²\bigr)=ln(1/x)→+∞, então o limite não existe finito, e f não é contínua em (0,0).
Resposta
A função é contínua exatamente nos pontos (x,y)≠(0,0) tais que x>y.