Verifique em quais pontos as funções abaixo são contínuas
f(x, y)=lln (x-yx^2+y^2), se (x, y) neq(0,0), 0, caso contrário á

Passo 1

O enunciado dá uma função de duas variáveis f(x,y), definida por parte: para (x,y)≠(0,0) temos f(x,y)=ln\bigl((x−y)/(x²+y²)\bigr), e f(0,0)=0. O conteúdo é continuidade em R², e vamos usar propriedades de funções compostas (ln) e checar limite no origem.

Passo 2

Para (x,y)≠(0,0), o argumento de ln deve ser positivo: x−yx²+y²>0²². Como x²+y²>0²² fora da origem, basta exigir x−y>0, isto é, x>y. Nesses pontos, f é composição de funções contínuas (diferença, quociente e ln), logo f é contínua sempre que (x,y)≠(0,0) e x>y.

Passo 3

Se em algum ponto (x,y)≠(0,0) tivermos x−y≤0, então (x−y)/(x²+y²)≤0 e ln não está definido ali. Portanto f não existe nesses pontos e, a fortiori, não é contínua.

Passo 4

No ponto (0,0), queremos ver se lim(x,y)→(0,0)f(x,y)=f(0,0)=0. Escolhendo, por exemplo, y=0 e x→0⁺, temos f(x,0)=ln\bigl(x/x²\bigr)=ln(1/x)→+∞, então o limite não existe finito, e f não é contínua em (0,0).

Resposta

A função é contínua exatamente nos pontos (x,y)≠(0,0) tais que x>y.

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