Calcule os seguintes limites:
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular o limite da função $ f(x, y) = x \cdot y \cdot e^{\sin(\pi x)} $ quando
se aproxima de
. Para resolver isso, precisamos saber sobre limites de funções de duas variáveis e propriedades de funções contínuas. Vamos seguir passo a passo!
Passo 2
Vamos observar cada parte da função $ f(x, y) = x \cdot y \cdot e^{\sin(\pi x)} $. Se a função for contínua no ponto
, o limite dela nesse ponto será simplesmente o valor da função nesse ponto. Funções polinomiais, exponenciais e trigonométricas são contínuas em todos os pontos onde estão definidas, então podemos usar essa propriedade.
Passo 3
Vamos calcular cada parte separadamente:
- $ x $: Quando $ x $ se aproxima de
, o valor de $ x $ será . - $ y $: Quando $ y $ se aproxima de
, o valor de $ y $ será . - $ \sin(\pi x) $: Primeiro, substituímos $ x $ por
: Sabemos que e , então: - $ e^{\sin(\pi x)} $: Como
, temos:
Passo 4
Agora, juntando todas as partes que calculamos:
Resposta
O limite é
.