Calcule os seguintes limites:
lim (x, y) (-3,2) x y e^sen pi x.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular o limite da função $ f(x, y) = x \cdot y \cdot e^{\sin(\pi x)} $ quando f(x, y) = x cdot y cdot e^sin(pi x) se aproxima de (x, y). Para resolver isso, precisamos saber sobre limites de funções de duas variáveis e propriedades de funções contínuas. Vamos seguir passo a passo!

Passo 2

Vamos observar cada parte da função $ f(x, y) = x \cdot y \cdot e^{\sin(\pi x)} $. Se a função for contínua no ponto f(x, y) = x cdot y cdot e^sin(pi x) , o limite dela nesse ponto será simplesmente o valor da função nesse ponto. Funções polinomiais, exponenciais e trigonométricas são contínuas em todos os pontos onde estão definidas, então podemos usar essa propriedade.

Passo 3

Vamos calcular cada parte separadamente:
  1. $ x $: Quando $ x $ se aproxima de x , o valor de $ x $ será x .
  2. $ y $: Quando $ y $ se aproxima de -3, o valor de $ y $ será x .
  3. $ \sin(\pi x) $: Primeiro, substituímos $ x $ por -3: y Sabemos que y e 2, então: y
  4. $ e^{\sin(\pi x)} $: Como 2, temos: sin(pi x)

Passo 4

Agora, juntando todas as partes que calculamos:
f(-3, 2) = (-3) cdot 2 cdot 1 = -6

Resposta

O limite é -6.

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