Exercício 13.0.1. Calcule a integral de linha, onde \gamma é a curva dada.
\int_{\gamma} z d x+x d y+y d z onde \gamma(t)=\left(t^{2}, t, t^{3}\right), 0 \leq t \leq 1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{\gamma} z\,dx + x\,dy + y\,dz,
onde a curva é dada por \gamma(t) = \big(t^{2},\,t,\,t^{3}\big) para 0 \le t \le 1.
Informações dadas que vamos usar:
  • \;x(t)=t^{2},\; y(t)=t,\; z(t)=t^{3} para t\in[0,1].
  • O integrando é uma forma diferencial P\,dx+Q\,dy+R\,dz com P=z,\;Q=x,\;R=y.
    A tarefa é parametizar a integral usando t, substituir dx,dy,dz por x'(t)\,dt,\;y'(t)\,dt,\;z'(t)\,dt e calcular a integral definida em t de 0 a 1.

Passo 2

Regra prática (fórmula) para integrar uma forma P\,dx+Q\,dy+R\,dz ao longo de \gamma(t)=(x(t),y(t),z(t)), a\le t\le b:
\int_{\gamma} P\,dx+Q\,dy+R\,dz = \int_{a}^{b}\big(P(x(t),y(t),z(t))\,x'(t)+Q(x(t),y(t),z(t))\,y'(t)+R(x(t),y(t),z(t))\,z'(t)\big)\,dt.
Explicando as peças: x'(t)=\dfrac{dx}{dt} é a derivada de x em relação a t; multiplicando P por x'(t) e somando as três contribuições obtemos a expressão da forma diferencial em termos de dt. Depois é só integrar de a a b.

Passo 3

Calcule as derivadas das componentes de \gamma:
x(t)=t^{2}\quad\Rightarrow\quad x'(t)=2t,
y(t)=t\quad\Rightarrow\quad y'(t)=1,
z(t)=t^{3}\quad\Rightarrow\quad z'(t)=3t^{2}.
Também escrevo as funções P,Q,R ao longo da curva:
P(z)=z \Rightarrow P(x(t),y(t),z(t))=t^{3},
Q(x)=x \Rightarrow Q(x(t),y(t),z(t))=t^{2},
R(y)=y \Rightarrow R(x(t),y(t),z(t))=t.

Passo 4

Substituindo tudo na fórmula do Passo 2:
\int_{\gamma} z\,dx+x\,dy+y\,dz = \int_{0}^{1}\big(t^{3}\cdot x'(t) + t^{2}\cdot y'(t) + t\cdot z'(t)\big)\,dt.
Agora substituo x'(t)=2t,\;y'(t)=1,\;z'(t)=3t^{2}:
\int_{0}^{1}\big(t^{3}\cdot 2t + t^{2}\cdot 1 + t\cdot 3t^{2}\big)\,dt = \int_{0}^{1}\big(2t^{4} + t^{2} + 3t^{3}\big)\,dt.

Passo 5

Integro termo a termo. Para cada monômio uso a primitiva padrão \displaystyle\int t^{n}\,dt = \frac{t^{n+1}}{n+1}.
Primitivas:
\int 2t^{4}\,dt = 2\cdot\frac{t^{5}}{5}=\frac{2}{5}t^{5},
\int 3t^{3}\,dt = 3\cdot\frac{t^{4}}{4}=\frac{3}{4}t^{4},
\int t^{2}\,dt = \frac{t^{3}}{3}.
Somando as primitivas, uma primitiva da integranda é
F(t)=\frac{2}{5}t^{5}+\frac{3}{4}t^{4}+\frac{1}{3}t^{3}.

Passo 6

Avalio a primitiva entre 0 e 1:
\int_{0}^{1}\big(2t^{4}+3t^{3}+t^{2}\big)\,dt = F(1)-F(0) = \left(\frac{2}{5}+\frac{3}{4}+\frac{1}{3}\right)-0.
Calculo a soma de frações com denominador comum 60:
\frac{2}{5}=\frac{24}{60},\qquad \frac{3}{4}=\frac{45}{60},\qquad \frac{1}{3}=\frac{20}{60}.
Somando:
\frac{24}{60}+\frac{45}{60}+\frac{20}{60}=\frac{89}{60}.

Resposta

\displaystyle \frac{89}{60}

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