Utilize transformadas de Laplace para resolver os seguintes problemas.
y^prime prime+y^prime+y=0 ; j(0)=4, y^prime(0)=-3

Passo 1

O enunciado dá a EDO com condições iniciais
y'' + y' + y = 0, y(0)=4,;y'(0)=-3,
e pede a solução y(t) usando transformada de Laplace. Vamos aplicar Lcdot em ambos os lados, usar as fórmulas de Ly' e Ly'' com as condições iniciais, resolver para Y(s)=Ly(t) e enfim inverter para obter y(t).

Passo 2

Aplicando L em cada termo:
Ly''=s^2Y(s)-s,y(0)-y'(0)=s^2Y(s)-4s+3,
Ly'=sY(s)-y(0)=sY(s)-4,
Ly=Y(s)
Somando na equação y''+y'+y=0 temos
l(s^2Y(s)-4s+3r)+l(sY(s)-4r)+Y(s)=0
Rightarrow (s^2+s+1),Y(s)=4s+1
Rightarrow Y(s)=4s+1s^2+s+1

Passo 3

Para inverter, completamos o quadrado no denominador:
s^2+s+1=l(s+tfrac12r)^2+tfrac34
Defina u=s+tfrac12 e note que tfracraiz32 é tal que l(tfracraiz32r)^2=tfrac34. Reescrevendo o numerador em termos de u:
4s+1=4l(u-tfrac12r)+1=4u-1,
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Y(s)=4u-1u^2+(tfracraiz32)^2 =4uu^2+(tfracraiz32)^2-1u^2+(tfracraiz32)^2

Passo 4

Usamos o fato de que, com u=s+tfrac12,
L^-1!luu^2+a^2r =e^-t/2cos(at), L^-1!lau^2+a^2r =e^-t/2sin(at)
Aqui a=tfracraiz32. Além disso
1u^2+a^2 =2raiz3;au^2+a^2
Portanto, invertendo termo a termo,
y(t) =4,e^-t/2cos!l(tfracraiz32,tr) -2raiz3,e^-t/2sin!l(tfracraiz32,tr)

Resposta

y(t)=e^-t/2l(4cosl(tfracraiz32,tr) -tfrac2raiz3sinl(tfracraiz32,tr)r)

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