Calcule os seguintes limites ou mostre que eles não existem:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite que envolve duas variáveis, $ x $ e $ y $, indo para zero. O enunciado é:
Isso está relacionado ao estudo de limites em funções de várias variáveis. Para resolver, vamos precisar entender como comparar o crescimento das funções no numerador e no denominador quando $ x $ e $ y $ se aproximam de zero.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o comportamento da função $ \cos(x^2) $ quando $ x $ se aproxima de zero. Sabemos que $ \cos(0) = 1 $ e que $ \cos(x^2) $ varia entre -1 e 1 para todos os valores de $ x $. Mais especificamente, quando $ x $ está bem próximo de zero, $ \cos(x^2) $ está bem perto de 1.
Então, podemos dizer que:
Passo 3
Com isso, nossa expressão inicial pode ser aproximada por:
Agora, vamos focar em calcular o limite de $ \frac{y{4}}{x{4}+y^{4}} $ quando $ x $ e $ y $ se aproximam de zero.
Passo 4
Para entender o comportamento desse limite, podemos considerar diferentes caminhos pelos quais $ (x, y) $ se aproximam de $ (0,0) $. Por exemplo:
-
Caminho onde $ x = 0 $:
-
Caminho onde $ y = 0 $:
-
Caminho onde $ y = kx $ para algum constante $ k $:
Passo 5
Observamos que os limites dependem do caminho escolhido:
- Se $ x = 0 $, o limite é 1.
- Se $ y = 0 $, o limite é 0.
- Se $ y = kx $, o limite é $ \frac{k^{4}}{1 + k^{4}} $, que varia conforme $ k $.
Como o limite assume valores diferentes dependendo do caminho, isso significa que o limite geral não existe.
Resposta
O limite não existe, pois o valor depende do caminho pelo qual
se aproxima de
.