Calcule os seguintes limites ou mostre que eles não existem:
lim (x, y) (0,0) y^4 cos (x^2)x^4+y^4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite que envolve duas variáveis, $ x $ e $ y $, indo para zero. O enunciado é:
x
Isso está relacionado ao estudo de limites em funções de várias variáveis. Para resolver, vamos precisar entender como comparar o crescimento das funções no numerador e no denominador quando $ x $ e $ y $ se aproximam de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento da função $ \cos(x^2) $ quando $ x $ se aproxima de zero. Sabemos que $ \cos(0) = 1 $ e que $ \cos(x^2) $ varia entre -1 e 1 para todos os valores de $ x $. Mais especificamente, quando $ x $ está bem próximo de zero, $ \cos(x^2) $ está bem perto de 1.
Então, podemos dizer que:
cos(x^2)

Passo 3

Com isso, nossa expressão inicial pode ser aproximada por:
y^4 cdot 1x^4+y^4 = y^4x^4+y^4
Agora, vamos focar em calcular o limite de $ \frac{y{4}}{x{4}+y^{4}} $ quando $ x $ e $ y $ se aproximam de zero.

Passo 4

Para entender o comportamento desse limite, podemos considerar diferentes caminhos pelos quais $ (x, y) $ se aproximam de $ (0,0) $. Por exemplo:
  1. Caminho onde $ x = 0 $:
    (x, y)
  2. Caminho onde $ y = 0 $:
    (0,0)
  3. Caminho onde $ y = kx $ para algum constante $ k $:
    x = 0

Passo 5

Observamos que os limites dependem do caminho escolhido:
  • Se $ x = 0 $, o limite é 1.
  • Se $ y = 0 $, o limite é 0.
  • Se $ y = kx $, o limite é $ \frac{k^{4}}{1 + k^{4}} $, que varia conforme $ k $.
Como o limite assume valores diferentes dependendo do caminho, isso significa que o limite geral não existe.

Resposta

O limite não existe, pois o valor depende do caminho pelo qual (x, y) se aproxima de (0,0).

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