Determine uma equação para a reta em
que passa pelos pontos
e
e ache qual dos pontos dessa reta está mais próximo da origem.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de Álgebra Linear que pede para encontrar a equação de uma reta no espaço de cinco dimensões (
) que passa por dois pontos específicos,
e
. Além disso, a gente precisa descobrir qual ponto dessa reta está mais perto da origem (ou seja, do ponto
). Para resolver isso, vamos precisar entender como representar uma reta no espaço e como calcular a distância de um ponto até a origem. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma reta no espaço pode ser representada de forma paramétrica. Isso significa que a gente expressa cada coordenada do ponto da reta em função de um parâmetro, geralmente chamado de
. A fórmula geral fica assim:
Aqui,
é um ponto pela qual a reta passa (no nosso caso,
) e
é o vetor diretor da reta, que indica a direção da reta. Para encontrar
, a gente subtrai as coordenadas de
das coordenadas de
:
Passo 3
Agora que temos o vetor diretor
, podemos escrever a equação paramétrica da reta. Substituindo
e
na fórmula geral:
Isso significa que qualquer ponto na reta pode ser obtido variando o valor de
.
Passo 4
Nosso próximo passo é encontrar qual ponto dessa reta está mais próximo da origem. Para isso, vamos lembrar que a distância de um ponto
até a origem é dada pela norma do vetor
, ou seja:
Mas, como queremos minimizar essa distância, podemos simplificar e minimizar a distância ao quadrado (já que a raiz quadrada é uma função crescente). Então, vamos encontrar o valor de
que minimiza:
Onde
são as coordenadas de
.
Passo 5
Vamos substituir as coordenadas de
na expressão de
:
Passo 6
Agora, para encontrar o valor de
que minimiza
, vamos derivar
em relação a
e igualar a zero. Afinal, o mínimo ocorre onde a derivada é zero.
Calculando a derivada de
:
Igualando a zero:
Passo 7
Com o valor de
, vamos substituir na equação paramétrica da reta para encontrar as coordenadas do ponto mais próximo da origem:
Calculando cada coordenada:
Passo 8
Então, o ponto mais próximo da origem na reta é:
Resposta
A equação paramétrica da reta em
é:
E o ponto dessa reta que está mais próximo da origem é: