Determine uma equação para a reta em R^5 que passa pelos pontos P1=(1,0,3,-1,0) e P2=(2,-1,0,-2,1) e ache qual dos pontos dessa reta está mais próximo da origem.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de Álgebra Linear que pede para encontrar a equação de uma reta no espaço de cinco dimensões ( R^5) que passa por dois pontos específicos, P1=(1,0,3,-1,0) e P2=(2,-1,0,-2,1). Além disso, a gente precisa descobrir qual ponto dessa reta está mais perto da origem (ou seja, do ponto (0,0,0,0,0)). Para resolver isso, vamos precisar entender como representar uma reta no espaço e como calcular a distância de um ponto até a origem. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma reta no espaço pode ser representada de forma paramétrica. Isso significa que a gente expressa cada coordenada do ponto da reta em função de um parâmetro, geralmente chamado de t. A fórmula geral fica assim:
P(t) = P1 + t cdot d
Aqui, P1 é um ponto pela qual a reta passa (no nosso caso, (1,0,3,-1,0)) e d é o vetor diretor da reta, que indica a direção da reta. Para encontrar d, a gente subtrai as coordenadas de P1 das coordenadas de P2:
d = P2 - P1 = (2-1, -1-0, 0-3, -2-(-1), 1-0) = (1, -1, -3, -1, 1)

Passo 3

Agora que temos o vetor diretor d = (1, -1, -3, -1, 1), podemos escrever a equação paramétrica da reta. Substituindo P1 e d na fórmula geral:
P(t) = (1,0,3,-1,0) + t cdot (1, -1, -3, -1, 1)
Isso significa que qualquer ponto na reta pode ser obtido variando o valor de t.

Passo 4

Nosso próximo passo é encontrar qual ponto dessa reta está mais próximo da origem. Para isso, vamos lembrar que a distância de um ponto P até a origem é dada pela norma do vetor P, ou seja:
Distância = |P| = raizx^2 + y^2 + z^2 + w^2 + v^2 â
Mas, como queremos minimizar essa distância, podemos simplificar e minimizar a distância ao quadrado (já que a raiz quadrada é uma função crescente). Então, vamos encontrar o valor de t que minimiza:
D(t) = (x(t))^2 + (y(t))^2 + (z(t))^2 + (w(t))^2 + (v(t))^2
Onde (x(t), y(t), z(t), w(t), v(t)) são as coordenadas de P(t).

Passo 5

Vamos substituir as coordenadas de P(t) na expressão de D(t):
D(t) &= [1 + t]^2 + [0 - t]^2 + [3 - 3t]^2 + [-1 - t]^2 + [0 + t]^2 &= (1 + t)^2 + (-t)^2 + (3 - 3t)^2 + (-1 - t)^2 + t^2 &= (1 + 2t + t^2) + (t^2) + (9 - 18t + 9t^2) + (1 + 2t + t^2) + (t^2) &= 1 + 2t + t^2 + t^2 + 9 - 18t + 9t^2 + 1 + 2t + t^2 + t^2 &= (1 + 9 + 1) + (2t - 18t + 2t) + (t^2 + t^2 + 9t^2 + t^2 + t^2) &= 11 - 14t + 13t^2

Passo 6

Agora, para encontrar o valor de t que minimiza D(t) = 13t^2 - 14t + 11, vamos derivar D(t) em relação a t e igualar a zero. Afinal, o mínimo ocorre onde a derivada é zero.
Calculando a derivada de D(t):
D'(t) = 26t - 14
Igualando a zero:
26t - 14 = 0 26t = 14 t = 1426 = 713

Passo 7

Com o valor de t = 713, vamos substituir na equação paramétrica da reta para encontrar as coordenadas do ponto mais próximo da origem:
P(713) = (1,0,3,-1,0) + 713 cdot (1, -1, -3, -1, 1)
Calculando cada coordenada:
x &= 1 + 713 cdot 1 = 1 + 713 = 2013 y &= 0 + 713 cdot (-1) = -713 z &= 3 + 713 cdot (-3) = 3 - 2113 = 1813 w &= -1 + 713 cdot (-1) = -1 - 713 = -2013 v &= 0 + 713 cdot 1 = 713

Passo 8

Então, o ponto mais próximo da origem na reta é:
( 2013, -713, 1813, -2013, 713 )

Resposta

A equação paramétrica da reta em R^5 é:
P(t) = (1,0,3,-1,0) + t cdot (1, -1, -3, -1, 1)
E o ponto dessa reta que está mais próximo da origem é:
( 2013, -713, 1813, -2013, 713 )

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