Calcule os seguintes limites:
pontos)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular:
Conteúdo da matéria: Neste exercício, vamos trabalhar com limites de funções racionais. Para resolver isso, precisamos entender como simplificar expressões polinomiais e aplicar propriedades de limites.
O que vamos precisar:
- Saber como calcular o valor de um polinômio em um ponto específico.
- Conhecer técnicas de fatoração para simplificar expressões.
- Entender que, se ao substituir o valor de
no limite, obtemos uma indeterminação como , devemos simplificar a expressão para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o numerador e o denominador da fração.
Numerador:
Denominador:
Vamos simplificar o denominador fatorando
e
:
Observamos que ambos os termos têm
e
em comum. Podemos fatorar esses termos:
Passo 3
Agora, vamos continuar simplificando o denominador:
Simplificando dentro dos colchetes:
Então, o denominador simplificado fica:
Agora, nossa expressão para o limite é:
Passo 4
Vamos tentar substituir
diretamente na expressão simplificada para ver se conseguimos calcular o limite:
Numerador:
Denominador:
Obtemos a indeterminação
. Isso significa que precisamos simplificar a expressão ainda mais, possivelmente fatorando o numerador para cancelar o termo
.
Passo 5
Vamos fatorar o numerador
.
Procuramos fatorar por
. Vamos testar se
é uma raiz do numerador:
Como
é raiz,
é um fator do numerador. Vamos fazer a divisão polinomial ou usar o método de agrupamento:
Agora,
pode ser fatorado como diferença de quadrados:
Então, o numerador fica:
Passo 6
Agora que fatoramos tanto o numerador quanto o denominador, nossa expressão para o limite é:
Podemos cancelar o fator comum
:
Agora, substituímos
na expressão simplificada:
Numerador:
Denominador:
Resposta
Portanto, o limite é: