Calcule os seguintes limites:
(6 pontos) lim x 2 (x^3-2 x^2)-(x-2)x(x-2)(x+1)+x^2(x-1)(x-2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular:
limx 2 (x^3 - 2x^2) - (x - 2)x(x - 2)(x + 1) + x^2(x -1)(x - 2)
Conteúdo da matéria: Neste exercício, vamos trabalhar com limites de funções racionais. Para resolver isso, precisamos entender como simplificar expressões polinomiais e aplicar propriedades de limites.
O que vamos precisar:
  • Saber como calcular o valor de um polinômio em um ponto específico.
  • Conhecer técnicas de fatoração para simplificar expressões.
  • Entender que, se ao substituir o valor de x no limite, obtemos uma indeterminação como 00 , devemos simplificar a expressão para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o numerador e o denominador da fração.
Numerador:
(x^3 - 2x^2) - (x - 2) = x^3 - 2x^2 - x + 2
Denominador:
x(x - 2)(x + 1) + x^2(x -1)(x - 2)
Vamos simplificar o denominador fatorando x e x^2 :
x(x - 2)(x + 1) + x^2(x -1)(x - 2) = x(x -2)(x +1) + x^2(x -1)(x -2)
Observamos que ambos os termos têm x e (x - 2) em comum. Podemos fatorar esses termos:
x(x -2)(x +1) + x^2(x -1)(x -2) = x(x -2)[(x +1) + x(x -1)]

Passo 3

Agora, vamos continuar simplificando o denominador:
x(x -2)[(x +1) + x(x -1)] = x(x -2)[x + 1 + x^2 - x]
Simplificando dentro dos colchetes:
x + 1 + x^2 - x = x^2 + 1
Então, o denominador simplificado fica:
x(x -2)(x^2 + 1)
Agora, nossa expressão para o limite é:
limx 2 x^3 - 2x^2 - x + 2x(x -2)(x^2 + 1)

Passo 4

Vamos tentar substituir x = 2 diretamente na expressão simplificada para ver se conseguimos calcular o limite:
Numerador:
2^3 - 2(2)^2 - 2 + 2 = 8 - 8 - 2 + 2 = 0
Denominador:
2(2 -2)(2^2 + 1) = 2(0)(4 + 1) = 0
Obtemos a indeterminação 00 . Isso significa que precisamos simplificar a expressão ainda mais, possivelmente fatorando o numerador para cancelar o termo (x - 2) .

Passo 5

Vamos fatorar o numerador x^3 - 2x^2 - x + 2 .
Procuramos fatorar por (x - 2) . Vamos testar se x = 2 é uma raiz do numerador:
2^3 - 2(2)^2 - 2 + 2 = 8 - 8 - 2 + 2 = 0
Como x = 2 é raiz, (x - 2) é um fator do numerador. Vamos fazer a divisão polinomial ou usar o método de agrupamento:
x^3 - 2x^2 - x + 2 = (x^3 - 2x^2) - (x - 2) = x^2(x - 2) -1(x - 2) = (x^2 -1)(x - 2)
Agora, x^2 -1 pode ser fatorado como diferença de quadrados:
x^2 -1 = (x -1)(x +1)
Então, o numerador fica:
(x -2)(x -1)(x +1)

Passo 6

Agora que fatoramos tanto o numerador quanto o denominador, nossa expressão para o limite é:
limx 2 (x -2)(x -1)(x +1)x(x -2)(x^2 + 1)
Podemos cancelar o fator comum (x -2) :
limx 2 (x -1)(x +1)x(x^2 + 1)
Agora, substituímos x = 2 na expressão simplificada:
Numerador:
(2 -1)(2 +1) = 1 times 3 = 3
Denominador:
2(2^2 + 1) = 2(4 + 1) = 2 times 5 = 10

Resposta

Portanto, o limite é:
limx 2 (x^3 - 2x^2) - (x - 2)x(x - 2)(x + 1) + x^2(x -1)(x - 2) = 310

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