Calcule os seguintes limites:
(6 pontos)
(6 pontos)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite de uma função quando $ x $ se aproxima de 2 pela esquerda. A função é:
Vamos resolver isso usando conceitos de limites e algumas manipulações algébricas. Precisaremos entender como simplificar a expressão para resolver o limite.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o denominador $ x^{2} - 4 $. Perceba que isso é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada:
Então, nossa expressão fica:
Passo 3
Agora, vamos olhar para o numerador $ (x - 1) \sqrt{4 - x^{2}} $. Podemos reescrever $ \sqrt{4 - x^{2}} $ como $ \sqrt{(2 - x)(2 + x)} $, já que $ 4 - x^{2} = (2 - x)(2 + x) $. Então:
Passo 4
Agora, observe que quando $ x $ se aproxima de 2 pela esquerda ($ 2^- $), $ 2 - x $ é positivo e pequeno, enquanto $ 2 + x $ se aproxima de 4. Portanto, podemos simplificar a expressão cancelando alguns termos.
Mas, para facilitar, vamos substituir $ t = 2 - x $. Quando $ x \rightarrow 2^- $, $ t \rightarrow 0^+ $.
Passo 5
Substituindo $ x = 2 - t $, nossa expressão fica:
Simplificando dentro da raiz:
E o denominador:
Passo 6
Então, a expressão agora é:
Podemos simplificar $ \sqrt{t} $ com $ t $ no denominador:
Passo 7
Agora, vamos analisar o comportamento quando $ t \rightarrow 0^+ $:
- $ 1 - t $ se aproxima de 1.
- $ \sqrt{4 - t} $ se aproxima de 2.
- No denominador, $ -4\sqrt{t} $ domina sobre $ t\sqrt{t} $, que tende a 0.
Portanto:
Resposta
O limite é
.