Calcule os seguintes limites:
(6 pontos) lim x 2^- (x-1) raiz4-x^2x^2-4

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite de uma função quando $ x $ se aproxima de 2 pela esquerda. A função é:
x
Vamos resolver isso usando conceitos de limites e algumas manipulações algébricas. Precisaremos entender como simplificar a expressão para resolver o limite.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o denominador $ x^{2} - 4 $. Perceba que isso é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada:
x^2 - 4
Então, nossa expressão fica:
x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)

Passo 3

Agora, vamos olhar para o numerador $ (x - 1) \sqrt{4 - x^{2}} $. Podemos reescrever $ \sqrt{4 - x^{2}} $ como $ \sqrt{(2 - x)(2 + x)} $, já que $ 4 - x^{2} = (2 - x)(2 + x) $. Então:
(x - 1) raiz4 - x^2

Passo 4

Agora, observe que quando $ x $ se aproxima de 2 pela esquerda ($ 2^- $), $ 2 - x $ é positivo e pequeno, enquanto $ 2 + x $ se aproxima de 4. Portanto, podemos simplificar a expressão cancelando alguns termos.
Mas, para facilitar, vamos substituir $ t = 2 - x $. Quando $ x \rightarrow 2^- $, $ t \rightarrow 0^+ $.

Passo 5

Substituindo $ x = 2 - t $, nossa expressão fica:
x = 2 - t
Simplificando dentro da raiz:
(2 - t - 1) raiz4 - (2 - t)^2(2 - t)^2 - 4 = (1 - t) raiz4 - (4 - 4t + t^2)4 - 4t + t^2 - 4
E o denominador:
raiz4 - 4 + 4t - t^2 = raiz4t - t^2 = raizt(4 - t) = raizt cdot raiz4 - t

Passo 6

Então, a expressão agora é:
(1 - t) raizt cdot raiz4 - tt(-4 + t) = (1 - t) raizt cdot raiz4 - tt(-4 + t)
Podemos simplificar $ \sqrt{t} $ com $ t $ no denominador:
raizt

Passo 7

Agora, vamos analisar o comportamento quando $ t \rightarrow 0^+ $:
  • $ 1 - t $ se aproxima de 1.
  • $ \sqrt{4 - t} $ se aproxima de 2.
  • No denominador, $ -4\sqrt{t} $ domina sobre $ t\sqrt{t} $, que tende a 0.
Portanto:
t 0^+

Resposta

O limite é -infty.

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