Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f(x)=sen(pi e^x)x^2+1 no ponto com abscissa x=0.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=senl(pi e^xr)x^2+1
e pede a reta tangente em x0=0. Lembrando que a reta tangente em x0 é
y = f'(x0),(x - x0) + f(x0),
vamos calcular f(0) e f'(0).

Passo 2

Calcular f(0):
f(0)=senl(pi e^0r)0^2+1 =sen(pi)1 =0

Passo 3

Aplicar a regra do quociente para obter f'(x). Seja
u(x)=senl(pi e^xr), v(x)=x^2+1
Então
u'(x)=cosl(pi e^xr),pi e^x, v'(x)=2x,
e
f'(x) =u'(x),v(x)-u(x),v'(x)l(v(x)r)^2
Em x=0:
u'(0)=cosl(pi e^0r),pi e^0 =cos(pi),pi =-pi,
v(0)=1, v'(0)=0, u(0)=0,
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f'(0)=-picdot1-0cdot01^2 =-pi

Passo 4

A reta tangente em x0=0 é
y = f'(0),(x-0)+f(0) =-pi,x+0
ou simplesmente
y=-pi x

Resposta

y=-pi x

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