Calcule os seguintes limites usando L’Hopital
\lim _{t \rightarrow 0} \frac{t+1}{t^{2}+1}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{t \rightarrow 0} \frac{t+1}{t^{2}+1}.
Informações dadas:
  • A função considerada é a função racional f(t)=\dfrac{t+1}{t^{2}+1}.
  • O ponto de interesse é t=0.
  • O enunciado pede explicitamente para usar a regra de L’Hôpital (mesmo que seja só para verificar se ela se aplica).

Passo 2

O que diz a regra de L’Hôpital (forma que vamos usar):
  • Se temos duas funções g(t) e h(t) diferenciáveis num intervalo ao redor de um ponto (exceto possivelmente no próprio ponto) e se, ao tomar o limite quando t tende ao ponto, obtemos uma forma indeterminada do tipo \dfrac{0}{0} ou \dfrac{\infty}{\infty}, então
\lim_{t\to a}\frac{g(t)}{h(t)}=\lim_{t\to a}\frac{g'(t)}{h'(t)}
desde que o limite do quociente das derivadas exista (ou seja \pm\infty).
  • Aqui g'(t) e h'(t) são as derivadas de g e h em relação a t.
  • Importante: a regra não pode ser usada se a substituição direta não produzir uma forma indeterminada. Ou seja, primeiro sempre avalia-se o valor direto; só se obter 0/0 ou \infty/\infty aí sim aplica-se L’Hôpital.

Passo 3

Avaliar diretamente substituindo t=0:
  • Numerador: t+1 em t=0 0+1=1.
  • Denominador: t^{2}+1 em t=0 0^{2}+1=1.
    Logo a fração vale \dfrac{1}{1}=1 quando t=0.
Conclusão desta verificação: a expressão ao substituir t=0 resulta em 1, que não é uma forma indeterminada. Portanto a regra de L’Hôpital não é aplicável aqui — não faz sentido diferenciarmos numerador e denominador para forçar uso da regra, porque a condição inicial (forma 0/0 ou \infty/\infty) não se verifica.

Passo 4

Explicação alternativa e didática (como fazer na prova rapidamente):
  • Para funções racionais \dfrac{p(t)}{q(t)}, se q(a)\neq 0 então a função é contínua em t=a e
\lim_{t\to a}\frac{p(t)}{q(t)}=\frac{p(a)}{q(a)}.
  • No nosso caso q(0)=t^{2}+1\big|_{t=0}=1\neq 0, logo a função é contínua em 0 e o limite é simplesmente o valor no ponto, que já calculamos ser 1.
Dica prática para a prova: sempre faça a substituição direta primeiro. Só use L’Hôpital se obtiver 0/0 ou \infty/\infty. Isso economiza tempo e evita aplicar a regra de forma errada.

Resposta

1

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