Calcule os seguintes limites usando L’Hopital
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{10 x^{3}-2 x+4}{3 x^{2}-1}.

Passo 1

O enunciado pede o limite quando x tende a infinito da função racional abaixo:
\lim_{x \to \infty} \frac{10 x^{3}-2 x+4}{3 x^{2}-1}.
Informações relevantes dadas:
  • Numerador: 10 x^{3}-2 x+4.
  • Denominador: 3 x^{2}-1.
  • Observe que, ao fazermos x \to \infty, o numerador tende a +\infty e o denominador tende a +\infty. Portanto a expressão tem a forma indeterminada \tfrac{\infty}{\infty}, que é uma das formas em que a Regra de L’Hôpital pode ser aplicada (desde que as funções sejam diferenciáveis).

Passo 2

Breve explicação da Regra de L’Hôpital (com linguagem simples):
  • Se \displaystyle \lim_{x\to a} f(x)=\lim_{x\to a} g(x)=\infty ou ambos são 0, e f e g são diferenciáveis numa vizinhança de a (exceto possivelmente em a mesmo), então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)},
desde que o limite do lado direito exista (ou seja \pm\infty). Ou seja: podemos substituir a razão das funções pela razão de suas derivadas para resolver a indeterminação \tfrac{0}{0} ou \tfrac{\infty}{\infty}.
  • Aqui temos a forma \tfrac{\infty}{\infty}, logo podemos aplicar L’Hôpital.

Passo 3

Aplicando L’Hôpital uma primeira vez: derivamos numerador e denominador separadamente. Explico as derivadas usadas:
  • Regra básica: \dfrac{d}{dx}(x^n)=n x^{n-1}.
  • Derivada de uma constante é 0.
    Derivadas:
\frac{d}{dx}\big(10 x^{3}-2 x+4\big)=30 x^{2}-2,
\frac{d}{dx}\big(3 x^{2}-1\big)=6 x.
Portanto, pelo enunciado da regra,
\lim_{x \to \infty} \frac{10 x^{3}-2 x+4}{3 x^{2}-1} = \lim_{x \to \infty} \frac{30 x^{2}-2}{6 x}.

Passo 4

Analisando o novo quociente \dfrac{30 x^{2}-2}{6 x}: quando x\to\infty o numerador tende a +\infty e o denominador tende a +\infty, portanto continuamos com a forma indeterminada \tfrac{\infty}{\infty}. Podemos aplicar L’Hôpital novamente.

Passo 5

Aplicando L’Hôpital pela segunda vez: derivamos novamente numerador e denominador.
Derivadas:
\frac{d}{dx}\big(30 x^{2}-2\big)=60 x,
\frac{d}{dx}\big(6 x\big)=6.
Então
\lim_{x \to \infty} \frac{30 x^{2}-2}{6 x} = \lim_{x \to \infty} \frac{60 x}{6}.

Passo 6

Simplificando a razão obtida:
\frac{60 x}{6}=10 x.
Logo o limite reduz-se a
\lim_{x \to \infty} 10 x.
Como 10 x cresce sem bound quando x\to\infty (coeficiente positivo), o limite é +\infty. Em palavras: a expressão cresce linearmente para +\infty.

Resposta

+\infty

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