Calcule os seguintes limites usando L’Hopital
.
Passo 1
O enunciado pede o limite quando
tende a infinito da função racional abaixo:
Informações relevantes dadas:
- Numerador:
. - Denominador:
. - Observe que, ao fazermos
, o numerador tende a e o denominador tende a . Portanto a expressão tem a forma indeterminada , que é uma das formas em que a Regra de L’Hôpital pode ser aplicada (desde que as funções sejam diferenciáveis).
Passo 2
Breve explicação da Regra de L’Hôpital (com linguagem simples):
- Se
ou ambos são , e e são diferenciáveis numa vizinhança de (exceto possivelmente em mesmo), então
desde que o limite do lado direito exista (ou seja
). Ou seja: podemos substituir a razão das funções pela razão de suas derivadas para resolver a indeterminação
ou
.
- Aqui temos a forma
, logo podemos aplicar L’Hôpital.
Passo 3
Aplicando L’Hôpital uma primeira vez: derivamos numerador e denominador separadamente. Explico as derivadas usadas:
- Regra básica:
. - Derivada de uma constante é
.
Derivadas:
Portanto, pelo enunciado da regra,
Passo 4
Analisando o novo quociente
: quando
o numerador tende a
e o denominador tende a
, portanto continuamos com a forma indeterminada
. Podemos aplicar L’Hôpital novamente.
Passo 5
Aplicando L’Hôpital pela segunda vez: derivamos novamente numerador e denominador.
Derivadas:
Derivadas:
Então
Passo 6
Simplificando a razão obtida:
Logo o limite reduz-se a
Como
cresce sem bound quando
(coeficiente positivo), o limite é
. Em palavras: a expressão cresce linearmente para
.