Calcule os seguintes limites usando L’Hôpital, se necessário:
\lim _{x \rightarrow 1}\left(\frac{1}{1-x}-\frac{1}{1-x^{3}}\right)

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to1}\Bigl(\frac{1}{1-x}-\frac{1}{1-x^3}\Bigr).
O conteúdo envolvido é manipulação algébrica de frações e análise de indeterminação do tipo “ \infty-\infty”. Se a expressão se simplificar para uma forma “ \tfrac{\text{constante}}{0}” não cabe mais aplicar L’Hôpital.

Passo 2

Vamos colocar as duas frações sobre o mesmo denominador. Note que
1-x^3 = (1-x)(1+x+x^2).
Logo,
\frac{1}{1-x}-\frac{1}{1-x^3} =\frac{1}{1-x}-\frac{1}{(1-x)(1+x+x^2)} =\frac{1}{1-x}\Bigl(1-\frac{1}{1+x+x^2}\Bigr).

Passo 3

Continuando a simplificação:
1-\frac{1}{1+x+x^2} =\frac{(1+x+x^2)-1}{1+x+x^2} =\frac{x+x^2}{1+x+x^2} =\frac{x(1+x)}{1+x+x^2}.
Portanto
\frac{1}{1-x}-\frac{1}{1-x^3} =\frac{1}{1-x}\cdot\frac{x(1+x)}{1+x+x^2} =\frac{x(1+x)}{(1-x)(1+x+x^2)}.

Passo 4

Ao fazer x\to1, o numerador tende a 1\cdot2=2 e o denominador tende a
(1-1)\cdot(1+1+1)=0. Temos, assim, uma expressão que cresce sem limite. O sinal do infinito depende do lado de aproximação:
  • Se x\to1^-, então 1-x>0 e o quociente \to +\infty.
  • Se x\to1^+, então 1-x<0 e o quociente \to -\infty.
    Logo não há limite finito nem limite bilateral único.

Resposta

O limite não existe (diverge para +\infty pela esquerda e para -\infty pela direita).

Exercícios relacionados