Calcule os seguintes limites usando L’Hôpital, se necessário:
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{5 x^{2}-3 x+1}{2 x^{2}+4 x-7}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
\lim_{x \to +\infty}\frac{5x^2 - 3x + 1}{2x^2 + 4x - 7}.
O conteúdo aqui é limite de função racional em infinito e aplicação da regra de L’Hôpital.

Passo 2

Quando x \to +\infty, temos
5x^2 - 3x + 1 \to +\infty
e
2x^2 + 4x - 7 \to +\infty,
o que configura a forma indeterminada \infty/\infty. Então podemos aplicar a regra de L’Hôpital.

Passo 3

Derivando numerador e denominador, obtemos
\frac{d}{dx}(5x^2 - 3x + 1) = 10x - 3
\frac{d}{dx}(2x^2 + 4x - 7) = 4x + 4
Logo,
\lim_{x \to +\infty}\frac{5x^2 - 3x + 1}{2x^2 + 4x - 7} = \lim_{x \to +\infty}\frac{10x - 3}{4x + 4}.

Passo 4

O novo quociente ainda é da forma \infty/\infty, pois 10x - 3 \to +\infty e 4x + 4 \to +\infty. Aplicando L’Hôpital de novo:
\frac{d}{dx}(10x - 3) = 10
\frac{d}{dx}(4x + 4) = 4
Então
\lim_{x \to +\infty}\frac{10x - 3}{4x + 4} = \lim_{x \to +\infty}\frac{10}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}.

Resposta

\frac{5}{2}

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