Calcule os seguintes limites usando L’Hôpital, se necessário:
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\frac{8+x^{2}}{x(x+1)}\right)^{1 / 3}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\rightarrow +\infty}\Bigl(\frac{8+x^{2}}{x(x+1)}\Bigr)^{1/3}.
O conteúdo usado é limite de função racional em +\infty e propriedades de potências.

Passo 2

Dentro da raiz cúbica, simplificamos o quociente de polinômios de mesmo grau fatorando x^{2}:
\frac{8+x^{2}}{x(x+1)} =\frac{x^{2}\bigl(1+\tfrac{8}{x^{2}}\bigr)}{x^{2}\bigl(1+\tfrac{1}{x}\bigr)} =\frac{1+\tfrac{8}{x^{2}}}{1+\tfrac{1}{x}}.

Passo 3

Agora calculamos o limite do quociente ao interior: ao fazer x\to+\infty temos \tfrac{8}{x^{2}}\to0 e \tfrac{1}{x}\to0, logo
\lim_{x\to+\infty}\frac{1+\tfrac{8}{x^{2}}}{1+\tfrac{1}{x}} =\frac{1+0}{1+0} =1.

Passo 4

Como a função é contínua e estamos apenas elevando ao expoente 1/3, vale
\lim_{x\rightarrow +\infty}\Bigl(\frac{8+x^{2}}{x(x+1)}\Bigr)^{1/3} =\Bigl(\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{8+x^{2}}{x(x+1)}\Bigr)^{1/3} =1^{1/3} =1.

Resposta

1

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