Questão 4 (3,0 pontos) Determine o limite, se existir, ou mostre que não existe.
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{2} y}{y-x^{3}}

Passo 1

O enunciado pede o limite da função de duas variáveis
\displaystyle f(x,y)=\frac{x^{2}y}{\,y - x^{3}\,}
quando (x,y)\to(0,0). O conteúdo é limite em \R^{2}; para verificar se existe, vamos estudar o comportamento de f ao longo de curvas (caminhos) diferentes que tendem a (0,0).

Passo 2

Considere o caminho y=0. Substituindo em f:
f(x,0)=\frac{x^{2}\cdot 0}{0 - x^{3}}=0.
Logo
\lim_{x\to 0}f(x,0)=0.

Passo 3

Agora escolha o caminho y = x^{3} + x^{5}. Então
\text{numerador} = x^{2}\bigl(x^{3}+x^{5}\bigr)=x^{5}+x^{7},
\text{denominador} = (x^{3}+x^{5})-x^{3}=x^{5},
portanto
f\bigl(x,\,x^{3}+x^{5}\bigr) =\frac{x^{5}+x^{7}}{x^{5}} =1 + x^{2},
e daí
\lim_{x\to 0}f\bigl(x,\,x^{3}+x^{5}\bigr)=1.

Passo 4

Como pelo caminho y=0 o limite vale 0 e pelo caminho y=x^{3}+x^{5} o limite vale 1, os valores não coincidem. Logo o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

Exercícios relacionados