Questão 5 (1,5 pontos) Dada a função
f(x, y)= \begin{cases}\frac{x y^{2}}{x^{2}+y^{4}}, & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\ L, & \text { se }(x, y)=(0,0)\end{cases}
é possível encontrar L de maneira que f seja contínua em (0,0) ? Justifique.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)= \begin{cases} \displaystyle \frac{x\,y^{2}}{x^{2}+y^{4}},&(x,y)\neq(0,0),\\\ L,&(x,y)=(0,0), \end{cases}
e pergunta se existe algum valor de L que torne f contínua em (0,0). Para isto, precisamos verificar se
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x\,y^{2}}{x^{2}+y^{4}}
existe e, em caso afirmativo, igualar esse limite a L.

Passo 2

Para qualquer (x,y) com y=0 e x\neq0, temos
f(x,0)=\frac{x\cdot0^{2}}{x^{2}+0^{4}}=0.
Logo,
\lim_{(x,0)\to(0,0)}f(x,0)=0.
Isto mostra que, se o limite existir de forma geral, ele deve valer 0. Assim, o único candidato para L seria L=0.

Passo 3

Agora verificamos outra curva de aproximação. Seja
y^{2}=x,\quad x\ge0,
isto é, y=\sqrt{x}. Substituindo em f, obtemos
f\bigl(x,\sqrt{x}\bigr) =\frac{x\cdot(\sqrt{x})^{2}}{x^{2}+(\sqrt{x})^{4}} =\frac{x\cdot x}{x^{2}+x^{2}} =\frac{x^{2}}{2x^{2}} =\frac12,
para x>0. Portanto,
\lim_{x\to0^{+}}f\bigl(x,\sqrt{x}\bigr)=\tfrac12.

Passo 4

Como ao nos aproximarmos de (0,0) pela reta y=0 obtemos limite 0 e pela curva y^{2}=x obtemos limite \tfrac12, concluímos que
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x\,y^{2}}{x^{2}+y^{4}}
não existe (depende do caminho).

Resposta

Não existe valor de L que torne f contínua em (0,0).

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