Calcule os seguintes limites usando LHopital quando possível
lim x pi / 2 tg xtg 5 x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto pi/2tan xtan(5x)
O conteúdo envolvido é limite de funções trigonométricas que tendem a infinito, e o uso da regra de L\’Hôpital quando aparece a forma indeterminada infty/infty. Vamos precisar das derivadas de tan x e do fato de sec^2x=1/cos^2x, além de uma expansão local ao redor de x=pi/2.

Passo 2

Substituindo xtopi/2 vemos que tan xtoinfty e tan(5x)toinfty, ou seja, temos a forma infty/infty. Aplicando L\’Hôpital:
limxto pi/2tan xtan(5x) =limxto pi/2ddx[tan x]ddx[tan(5x)] =limxto pi/2sec^2x5sec^2(5x)

Passo 3

Reescrevemos em termos de cosseno para obter
limxto pi/2sec^2x5sec^2(5x) =limxto pi/21/cos^2x5,(1/cos^2(5x)) =limxto pi/2cos^2(5x)5,cos^2x,
que agora é da forma 0/0, pois cos(pi/2)=0 e cos(5pi/2)=0. Para essa nova indeterminação, é mais prático usar uma expansão de Taylor de cosseno perto de pi/2.

Passo 4

Defina h = x - pi/2, de modo que hto0 quando xtopi/2. Então:
cos x = cosl(tfracpi2 + hr) = -sin h approx -h,
cos(5x)=cosl(5pi/2 + 5hr)=cosl(tfracpi2+5hr)=-sin(5h)approx -5h
Substituindo em cos^2(5x)/(5cos^2x) obtemos
cos^2(5x)5,cos^2x approx ( -5h )^25,(-h)^2 =25h^25h^2 =5

Passo 5

Logo, o valor do limite é
limxto pi/2tan xtan(5x) = 5

Resposta

5

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