Calcule os seguintes limites usando LHopital quando possível
Passo 1
O enunciado pede para calcular
O conteúdo envolvido é limite de funções trigonométricas que tendem a infinito, e o uso da regra de L\’Hôpital quando aparece a forma indeterminada
. Vamos precisar das derivadas de
e do fato de
, além de uma expansão local ao redor de
.
Passo 2
Substituindo
vemos que
e
, ou seja, temos a forma
. Aplicando L\’Hôpital:
Passo 3
Reescrevemos em termos de cosseno para obter
que agora é da forma
, pois
e
. Para essa nova indeterminação, é mais prático usar uma expansão de Taylor de cosseno perto de
.
Passo 4
Defina
, de modo que
quando
. Então:
Substituindo em
obtemos
Passo 5
Logo, o valor do limite é